Как мы можем моделировать из геометрической смеси?

Если - известные плотности, из которых я могу смоделировать, т. Е. Для которых доступен алгоритм. и если продукт является интегрируемым, существует ли общий подход для моделирования на основе этой плотности продукта с использованием симуляторы от ? $f_1,\ldots,f_k$

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$

f_{i}

$f_i$

— Сиань
источник

Без дополнительных предположений это кажется маловероятным. (Пусть для простоты. Пусть будет маленьким. Предположим, что с каждым связан интервал на котором и , вне которого

для

. Тогда отдельные генераторы почти всегда выдают значения в

, но вероятность

может быть сконцентрирована где угодно, по- видимому, не связанной с

.) Итак, что еще вы можете сказать нам о

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$

i \neq j

$i\ne j$

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$ ?

— whuber

(+10) Верно! Однако использование меньшего

α_{i}

$\alpha_i$ приведет к выравниванию всех элементов и, следовательно, к предпочтительному перекрытию их эффективных опор ...

— Xi'an

Как сказал Уубер, проблема плотности будет такой, поэтому я бы взял преобразование (ИЛИ преференциальную выборку), чтобы отменить сжатие, прежде чем генерировать случайные выборки. Есть один конструктивный подход, который, я думаю, я читал некоторое время назад. Раздел 10.7 из link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 Не уверен, что здесь также может быть применена дискретизация.

— Henry.L

Ну, конечно, есть алгоритм принятия-отклонения, который я бы реализовал для вашего примера следующим образом:

(Инициализация) Для каждого $i$ найдите $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ . Отредактируйте, отражая комментарий Сианя ниже: Выберите распределение $f_i$ которое соответствует наименьшему $A_i$ .
Генерируйте $x$ из $f_i$ .
Вычислить $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$ .
Генерация $u \sim U(0,1)$ .
Если , вернуть , иначе перейти к 2. $u \leq \alpha$ $x$

Конечно, в зависимости от дистрибутивов у вас может быть очень низкий уровень приема. Когда это происходит, ожидаемое количество итераций равно выбранному (при условии непрерывного распределения), поэтому, по крайней мере, вы будете предупреждены заранее. $A_i$

— jbowman
источник

(+1) Действительно решение! Предполагая, что границы существуют для всех . Или даже некоторые . Сравнение [при условии их конечности] также может помочь в выборе наиболее эффективного .

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

— Сиань

Я не думал об этом, но, конечно, вы правы, сами очень информативны, так как они также равны ожидаемому количеству итераций, необходимых для фактического генерирования случайного числа, если вы придерживаетесь одного всем протяжении. Таким образом, вы хотели бы выбрать дистрибутив с наименьшим значением чтобы использовать его все время. Я отредактирую ответ, чтобы ваша точка зрения не терялась в комментариях.

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

— jbowman

То есть, предполагая, что все должным образом нормализованы [чтобы интегрироваться в один], что не обязательно является стандартным случаем.

f_{i}

$f_i$

— Сиань