Связь между дисперсией и попарными расстояниями в переменной

Пожалуйста, докажите, что если у нас есть две переменные (одинаковый размер выборки) и а дисперсия в больше, чем в , то сумма квадратов разностей (то есть квадратов евклидовых расстояний) между точками данных в также больше, чем что в . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
источник

Пожалуйста, уточните: когда вы говорите « дисперсия» , вы имеете в виду выборочную дисперсию ? Когда вы говорите сумму квадратов разностей , вы имеете в виду

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— кардинал

Если предположить , что сказанное выше:

тщательно учтя элементы в перекрестном сроке. Я полагаю, вы можете заполнить (небольшие пробелы). Результат тогда следует тривиально.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— кардинал

Существует также способ сделать это «без» какого-либо вычисления, учитывая тот факт, что если

определены из

(с четко определенной дисперсией), то

. Тем не менее, это требует более жесткого понимания вероятностных концепций.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— кардинал

Для связанного вопроса я использовал визуализацию того, что происходит здесь, в ответе на stats.stackexchange.com/a/18200 : квадратные различия - это площади квадратов.

— whuber

@whuber: Очень мило. Как-то я пропустил этот твой ответ по пути.

— кардинал

Просто, чтобы предоставить «официальный» ответ, чтобы дополнить решения, набросанные в комментариях, обратите внимание

Ни одно из , , или не изменяется путем сдвига всех равномерно к для некоторой постоянной или сдвигая все $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ к для некоторой постоянной . Таким образоммы можем предположитьтакие сдвиги были выполненычтобы сделать , откуда и . $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
После устранения общих факторов с каждой стороны и использования (1) вопрос требует показать, что подразумевает . $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
Простое разложение квадратов и перестановка сумм дают с подобным результатом для «с.
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

Доказательство немедленно.

— Whuber
источник