Какова нулевая гипотеза в тесте Манна-Уитни?

Пусть - случайное значение из распределения 1, а - случайное значение из распределения 2. Я думал, что нулевой гипотезой для теста Манна-Уитни было P (X_1 <X_2) = P (X_2 <X_1) .$X_1$$X_2$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$

Если я запускаю симуляции теста Манна-Уитни на данных из нормальных распределений с равными средними и равными дисперсиями с $\alpha=0.05$ , я получаю частоту ошибок типа I, которая очень близка к 0,05. Однако, если я сделаю различия неравными (но оставлю равными средние значения), доля симуляций, в которых отклоняется нулевая гипотеза, станет больше 0,05, чего я не ожидал, так как $P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$ все еще держится. Это происходит , когда я использую wilcox.testв R, независимо от того, есть ли у меня exact=TRUE, exact=FALSE, correct=TRUEили exact=FALSE, correct=FALSE.

Является ли нулевая гипотеза чем-то отличным от того, что я написал выше, или это просто то, что тест является неточным с точки зрения ошибки типа I, если отклонения неравны?

От Hollander & Wolfe С. 106-7,

Пусть - функция распределения, соответствующая совокупности 1, а - функция распределения, соответствующая совокупности 2. Нулевая гипотеза: для каждого . Нулевая гипотеза утверждает, что переменная переменная имеют одинаковое распределение вероятностей, но общее распределение не указано.$F$$G$$H_O: F(t)=G(t)$$t$$X$$Y$

Строго говоря, это описывает тест Уилкоксона, но , поэтому они эквивалентны.$U=W-\frac{n(n+1)}{2}$