Что энтропия говорит нам?

Я читаю об энтропии и мне трудно понять, что это означает в непрерывном случае. На вики-странице указано следующее:

Распределение вероятностей событий в сочетании с объемом информации о каждом событии образует случайную величину, ожидаемое значение которой представляет собой средний объем информации или энтропию, генерируемую этим распределением.

Так что, если я вычислю энтропию, связанную с непрерывным распределением вероятностей, что это действительно говорит мне? Они приводят пример с подбрасыванием монет, поэтому в отдельном случае, но если есть интуитивно понятный способ объяснить с помощью такого примера в непрерывном случае, это было бы здорово!

Если это помогает, определение энтропии для непрерывной случайной величины $X$ является следующим:

H (X) = - \int P (x) \log_{b} P (x) d x

$H(X)=-\int P(x)\log_b P(x)dx$ где- функция распределения вероятностей.

P (x)

$P(x)$

Чтобы попытаться сделать это более конкретно, рассмотрим случай , а затем, согласно Википедии , энтропия $X\sim \text{Gamma}(\alpha,\beta)$

\begin{aligned} H (X) & = E [- \ln (P (X))] \\ = E [- α \ln (β) + \ln (Γ (α)) + \ln (Γ (α)) - (α - 1) \ln (X) + β X] \\ = α - \ln (β) + \ln (Γ (α)) + (1 - α) (\frac{d}{d α} \ln (Γ (α))) \end{aligned}

$\begin{align} H(X)&=\mathbb{E}[-\ln(P(X))]\\ &=\mathbb{E}[-\alpha\ln(\beta)+\ln(\Gamma(\alpha))+\ln(\Gamma(\alpha))-(\alpha-1)\ln(X)+\beta X]\\ &=\alpha-\ln(\beta)+\ln(\Gamma(\alpha))+(1-\alpha)\left(\frac{d}{d\alpha}\ln(\Gamma(\alpha))\right) \end{align}$

Итак, теперь мы вычислили энтропию для непрерывного распределения (гамма-распределения), и поэтому, если я теперь оценим это выражение, , с учетом и , что на самом деле мне скажет эта величина? $H(X)$ $\alpha$ $\beta$

entropy

— RustyStatistician
источник

(+1) Эта цитата ссылается на действительно неудачный отрывок. Он пытается трудоемким и непрозрачным способом описать и интерпретировать математическое определение энтропии. Это определение . Его можно рассматривать как математическое ожидание , где является PDF случайной величины . Он пытается охарактеризовать как «количество информации», связанное с числом .

\int f (x) \log (f (x)) d x

$\int f(x)\log(f(x))dx$

\log (f (X))

$\log(f(X))$

f

$f$

X

$X$

\log (f (x))

$\log(f(x))$

x

$x$

— whuber

Стоит спросить, потому что есть деликатная, но важная техническая проблема: непрерывная версия энтропии не совсем обладает теми же свойствами, что и дискретная версия (которая имеет естественную, интуитивную интерпретацию с точки зрения информации). @Tim AFAIK, этот поток по математике обращается только к дискретному случаю.

— whuber

@RustyStatistician думает о как о том, насколько удивительным был результат x. Затем вы рассчитываете ожидаемый сюрприз.

- \log (f (x))

$-\log\left(f\left(x\right)\right)$

— Адриан

В связи с технической проблемой @whuber ссылки, это может представлять интерес.

— Шон Пасха

В случае, если вас интересуют технические детали: энтропия основана на псевдометрике, называемой дивергенцией Кульбака-Лейблера, которая используется для описания расстояний между событиями в соответствующей мере, см. Projecteuclid.org/euclid.aoms/1177729694 для оригинала ( и радостная) статья Кульбака и Лейблера. Эта концепция также появляется в критериях выбора моделей, таких как AIC и BIC.

— Иеремия К

Ответы:

Энтропия говорит вам, сколько неопределенности в системе. Допустим, вы ищете кошку и знаете, что она находится где-то между вашим домом и соседями, в 1 миле от вас. Ваши дети говорят вам, что вероятность того, что кошка окажется на расстоянии от вашего дома, лучше всего описывается бета-распределением . Так что кошка может быть где -то между 0 и 1, но более вероятно, будет в середине, то есть . $x$ $f(x;2,2)$ $x_{max}=1/2$

Давайте включим бета-распределение в ваше уравнение, тогда вы получите . $H=-0.125$

Затем вы спрашиваете свою жену, и она говорит вам, что лучшим распределением, описывающим ее знания о вашей кошке, является равномерное распределение. Если вы подключите его к уравнению энтропии, вы получите . $H=0$

Распределение как по форме, так и по бета-версии позволяет кошке находиться в пределах 0-1 мили от вашего дома, но в униформе больше неопределенности, потому что ваша жена на самом деле не имеет ни малейшего понятия, где прячется кошка, в то время как у детей есть какая-то идея , они думают, что это больше скорее всего, будет где-то посередине. Вот почему энтропия беты ниже, чем у униформы.

Вы можете попробовать другие дистрибутивы, может быть , ваш сосед говорит вам кошка любит быть рядом с любой из домов, так что его бета - распределение с . Его должно быть ниже, чем у униформы, потому что вы получаете представление о том, где искать кошку. Угадайте, выше или ниже информационная энтропия вашего соседа, чем у ваших детей? Я бы сделал ставку на детей в любой день по этим вопросам. $\alpha=\beta=1/2$ $H$

ОБНОВИТЬ:

Как это работает? Один из способов думать об этом - начать с равномерного распределения. Если вы согласны с тем, что это тот, кто обладает наибольшей неопределенностью, подумайте о том, чтобы его беспокоить Давайте посмотрим на дискретный случай для простоты. Возьмите из одной точки и добавьте его в другую следующим образом: $\Delta p$

p_{i}^{'} = p - Δ p

$p_i'=p-\Delta p$

p_{j}^{'} = p + Δ p

$p_j'=p+\Delta p$

H - H^{'} = p_{i} \ln p_{i} - p_{i} \ln (p_{i} - Δ p) + p_{j} \ln p_{j} - p_{j} \ln (p_{j} + Δ p)

$H-H'=p_i\ln p_i-p_i\ln (p_i-\Delta p)+p_j\ln p_j-p_j\ln (p_j+\Delta p)$

= p \ln p - p \ln [p (1 - Δ p / p)] + p \ln p - p \ln [p (1 + Δ p / p)]

$=p\ln p-p\ln [p(1-\Delta p/p)]+p\ln p-p\ln [p(1+\Delta p/p)]$

= - \ln (1 - Δ p / p) - \ln (1 + Δ p / p) > 0

$=-\ln (1-\Delta p/p)-\ln (1+\Delta p/p)>0$

$n$ $n\to\infty$ $n$ $n=1$ $n=13$

x = 0:0.01:1;
for k=1:5
    i = 1 + (k-1)*3;
    idx(k) = i;
    f = @(x)bates_pdf(x,i);
    funb=@(x)f(x).*log(f(x));
    fun = @(x)arrayfun(funb,x);
    h(k) = -integral(fun,0,1);
    subplot(1,5+1,k)

    plot(x,arrayfun(f,x))
    title(['Bates(x,' num2str(i) ')'])
    ylim([0 6])
end

subplot(1,5+1,5+1)
plot(idx,h)
title 'Entropy'

— Аксакал
источник

(+1) Я буду ждать, чтобы увидеть другие интерпретации, но мне очень нравится этот. Таким образом, кажется, что вы можете использовать энтропию как меру уверенности, вам нужно сравнить ее с другими распределениями? То есть номер сам по себе мало что говорит?

— RustyStatistician

@RustyStatistician, я бы не сказал, что его абсолютное значение совершенно бессмысленно, но да, оно наиболее полезно, когда используется для сравнения состояний системы. Самый простой способ усвоить энтропию - это воспринимать ее как меру неопределенности

— Аксакал,

Проблема с этим ответом заключается в том, что термин «неопределенность» остается неопределенным.

— kjetil b halvorsen

срок оставлен неопределенным

— Аксакал

Это очень мило.

— Астрид

Я хотел бы добавить прямой ответ на этот вопрос:

что это количество на самом деле говорит мне?

$\log \frac{1}{p(x)}$

$E \log \frac{1}{p(x)} = \sum p(x) \log \frac{1}{p(x)}$

— Лернер Чжан
источник