Докажите, что максимальное распределение энтропии с фиксированной ковариационной матрицей является гауссовым

13

Я пытаюсь обдумать следующее доказательство того, что гауссиан обладает максимальной энтропией.

Как помеченный шаг имеет смысл? Определенная ковариация только фиксирует второй момент. Что происходит с третьим, четвертым, пятым моментами и т. Д.?

entropy information-theory maximum-entropy

— Таррар
источник

13

Помеченный шаг действителен, потому что (a) и имеют одинаковые нулевые и вторые моменты и (b) - полиномиальная функция компонентов , члены которых имеют суммарные степени или . $p$ $q$ $\log(p)$ $\mathbf{x}$ $0$ $2$

Вам нужно знать только две вещи о многомерном нормальном распределении с нулевым средним:

$\log(p)$ $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $C$ $p_{ij}$
$\log (p (x)) = C + \sum_{i, j = 1}^{n} p_{i j} x_{i} x_{j} .$ $\log(p(\mathbf{x}))=C + \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_j.$
$C$ $p_{ij}$ $\Sigma$
$\Sigma$
$Σ_{i j} = E_{p} (x_{i} x_{j}) = \int p (x) x_{i} x_{j} d x .$ $\Sigma_{ij}=E_p(x_i x_j) = \int p(\mathbf{x})\, x_ix_j\, d\mathbf{x}.$

Мы можем использовать эту информацию для разработки интеграла:

\begin{aligned} \int (q (x) - p (x)) \log (p (x)) d x \\ = & \int (q (x) - p (x)) (C + \sum_{i, j = 1}^{n} p_{i j} x_{i} x_{j}) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ & &\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x} \\ &= &\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\left(C + \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_j\right)d\mathbf{x}. }$

Он разбивается на сумму двух частей:

$\int(q(x) - p(x))C\, d\mathbf{x} = C\left(\int q(\mathbf{x}) d\mathbf{x} - \int p(\mathbf{x}) d\mathbf{x}\right) = C(1 - 1) = 0$ $q$ $p$
$\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x})) \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_jd\mathbf{x} = \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))x_i x_jd\mathbf{x} = 0$ $\int q(\mathbf{x}) x_i x_jd\mathbf{x}$ $\int p(\mathbf{x}) x_i x_jd\mathbf{x}$ $\Sigma_{ij}$

$\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x}=0$ $\int q(\mathbf{x})\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x} = \int p(\mathbf{x})\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x}.$

— Whuber
источник

1

Я думаю, что происходит, что в интегралах в (4.27) и (4.28) вы имеете $q(x)$ и $p(x)$ умножение сроков формы $\sigma_{ij}x_ix_j$ (так как $p(x)$ нормальная плотность, когда вы берете журнал, вы получаете именно такие термины из показателя степени плюс константы). Но тогда условие в теореме гарантирует, что эти члены умножаются на $p(x)$ из $q(x)$ интегрировать в то же значение.

— Ф. Туселл
источник