PDF квадрата стандартной нормальной случайной величины [закрыто]

У меня есть эта проблема, где я должен найти PDF . Все, что я знаю, это то, что имеет распределение . Какое распределение ? Так же, как ? Как мне найти PDF? X N ( 0 , 1 ) Y = X 2$Y = X^2$$X$$N(0,1)$$Y = X^2$$X$

Вы наткнулись на один из самых известных результатов теории вероятностей и статистики. Я напишу ответ, хотя я уверен, что этот вопрос уже задавался (и отвечался) ранее на этом сайте.

Во-первых, обратите внимание, что pdf для не может совпадать с pdf для поскольку будет неотрицательным. Чтобы получить распределение мы можем использовать три метода, а именно метод mgf, метод cdf и метод преобразования плотности. Давайте начнем.$Y = X^2$$X$$Y$$Y$

Техника порождающих функций .

Или характерная функциональная техника, как вам угодно. Мы должны найти мгф . Итак, нам нужно рассчитать ожидание$Y=X^2$

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Используя закон Бессознательного статистика , все , что мы должны сделать , это вычислить этот интеграл по распределению . Таким образом, нам нужно вычислить$X$

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

где в последней строке мы сравнили интеграл с гауссовым интегралом со средним нулем и дисперсией . Конечно, это объединяет один по реальной линии. Что вы можете сделать с этим результатом сейчас? Ну, вы можете применить очень сложное обратное преобразование и определить pdf, соответствующий этому MGF, или вы можете просто распознать его как MGF распределения хи-квадрат с одной степенью свободы. (Напомним, что распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения с , где - степени свободы, а ).$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$$\alpha = \frac{r}{2}$$r$$\beta = 2$

CDF техника

Это, пожалуй, самое простое, что вы можете сделать, и это предложено Glen_b в комментариях. Согласно этой методике мы вычисляем

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

и поскольку функции распределения определяют функции плотности, после того, как мы получим упрощенное выражение, мы просто дифференцируем по чтобы получить наш pdf. У нас тогда$y$

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

где обозначает CDF стандартной нормальной переменной. Дифференцируя по мы получаем,$\Phi(.)$$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

где - теперь pdf стандартной нормальной переменной, и мы использовали тот факт, что она симметрична относительно нуля. следовательно$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

который мы распознаем как pdf распределения хи-квадрат с одной степенью свободы (вы, возможно, уже видели образец).

Методика преобразования плотности

В этот момент вы можете задаться вопросом, почему мы не просто используем технику преобразования, с которой вы знакомы, то есть для функции мы имеем, что плотность определяется как$Y = g(X)$$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

для в интервале . К сожалению, эта теорема требует, чтобы преобразование было взаимно-однозначным, что здесь явно не так. Действительно, мы можем видеть, что два значения приводят к одному и тому же значению , причем является квадратичным преобразованием. Следовательно, эта теорема неприменима.$y$$g$$X$$Y$$g$

Что применимо, тем не менее, является его расширением. Под этим расширением мы можем разложить поддержку (поддержка означает точки, где плотность отлична от нуля) на непересекающиеся множества, так что определяет взаимно однозначное преобразование из этих множеств в диапазон из . Плотность тогда дается суммой по всем этим обратным функциям и соответствующим абсолютным якобианам. В приведенных выше обозначениях$X$$Y= g(X)$$g$$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

где сумма пробегает все обратные функции. Этот пример прояснит это.

Для у нас есть две обратные функции, а именно с соответствующим абсолютным якобианом поэтому соответствующий pdf обнаружено, что$y = x^2$$x = \pm \sqrt{y}$$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

pdf распределения хи-квадрат с одной степенью свободы. Кстати, я считаю эту технику особенно полезной, поскольку вам больше не нужно извлекать CDF преобразования. Но, конечно, это личные вкусы.

---

Таким образом, вы можете лечь спать сегодня вечером, будучи полностью уверенным, что квадрат стандартной нормальной случайной величины следует распределению хи-квадрат с одной степенью свободы.