Оказывается, в статье Econometrica, написанной Кеннетом Смоллом и Харви Розеном, это было показано в 1981 году, но в очень специализированном контексте, поэтому результат требует много исследований, не говоря уже о некоторой подготовке по экономике. Я решил доказать это способом, который я нахожу более доступным.
Доказательство : пусть будет числом альтернатив. В зависимости от значений вектора , функция принимает разные значения. Сначала сфокусируйтесь на значениях таких как . То есть мы будем интегрировать по набору :& epsi ; = { & epsi ; 1 , . , , , Ε J } макс I ( δ я + ε я ) е макс I ( δ я + ε я ) = δ 1 + ε 1 δ 1 + ε 1 М 1 ≡ { ε : δ 1 + ε 1 > δ J + ε JJϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Eϵ∈M1[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[∫δ1+ϵ1−δ2−∞...∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(∫δ1+ϵ1−δ2−∞f(ϵ2)dϵ2)...(∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵJ)dϵJ)dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1−δ2)...F(δ1+ϵ1−δJ)dϵ1
Вышеупомянутый термин является первым из таких терминов в . В частности,JE[maxi(δi+ϵi)]
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iEϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)].
Теперь мы применяем функциональную форму распределения Гумбеля. Это дает
===Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵie−eμ−ϵi∏j≠ie−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵi∏je−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{∑j−eμ−ϵi+δj−δi}dϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{−eμ−ϵi∑jeδj−δi}dϵi
где второй шаг происходит от сбора одного из возведенных в степень слагаемых в произведение вместе с тем фактом, что если .δj−δi=0i=j
Теперь мы определяем и делаем замену , так что и . Обратите внимание, что когда приближается к бесконечности, приближается к 0, а когда приближается к отрицательной бесконечности, приближается к бесконечности. Di≡∑jeδj−δix=Dieμ−ϵidx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵiϵi=μ−log(xDi)ϵixϵix
==Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫0∞(δi+μ−log[xDi])(−1Di)exp{−x}dx1Di∫∞0(δi+μ−log[xDi])e−xdxδi+μDi∫∞0e−xdx−1Di∫∞0log[x]e−xdx+log[Di]Di∫∞0e−xdx
Гамма-функция определяется как . Для значений которые являются положительными целыми числами, это эквивалентнотак что . Кроме того, известно, что константа Эйлера – Маскерони, удовлетворяетΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdxtΓ(t)=(t−1)!Γ(1)=0!=1γ≈0.57722
γ=−∫∞0log[x]e−xdx.
Применение этих фактов дает
Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di
Тогда мы просуммировать получитьi
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iδi+μ+γ+log[Di]Di
Напомним, что . Обратите внимание, что знакомые вероятности выбора являются инверсиями или, другими словами, . Также обратите внимание, что . Тогда у нас естьDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδiPi=eδi∑jδjDiPi=1/Di∑iPi=1
E[maxi(δi+ϵi)]======∑iPi(δi+μ+γ+log[Di])(μ+γ)∑iPi+∑iPiδi+∑iPilog[Di]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδjeδi]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδj]−∑iPilog[eδi]μ+γ+∑iPiδi+log[∑jeδj]∑iPi−∑iPiδiμ+γ+log[∑jexp{δj}].
QED