Случайные перекрывающиеся интервалы

Как найти аналитическое выражение в следующей задаче? $D(n,l,L)$

Я случайно выбрасываю «баров» длиной в интервал . «Бары» могут перекрываться. Я хотел бы найти среднюю общую длину интервала занятую хотя бы одним «баром». $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

В пределе "низкой плотности" перекрытие должно быть незначительным, и . В «высокой плотности» предел, приближается . Но как я могу получить общее выражение для ? Это должно быть довольно фундаментальной статистической проблемой, но я не смог найти объяснительного решения на форумах. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Любая помощь будет принята с благодарностью.

Обратите внимание, что столбцы выпадают действительно случайным (статистически независимым) друг от друга.

probability distributions

— Даниил
источник

Это вопрос из курса или учебника? Если это так, пожалуйста, добавьте [self-study]тег и прочитайте его вики .

— gung - Восстановить Монику

Нет, это не так. Вы можете легко рассчитать среднюю занятую длину с помощью компьютера путем выборки, но проблема кажется фундаментальной: для ее решения необходим теоретический подход. Поскольку все мои попытки провалились, мне было просто интересно, как это сделать.

— Даниил

Какая у вас модель того, как бары «сбрасываются» на [0, L]? Могут ли они торчать по краям? Изменить: ваш рисунок и ответ предполагают, что это так.

— Адриан

Найти вероятности , что данный НЕ распространяется - что пересечение IID событий. Тогда ожидаемая длина непокрытой части просто .

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Вероятность того, что точка в будет занята одним выпавшим столбцом, равна $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

Соответственно, вероятность быть пустым равна . Вероятность того, что заданная точка все еще пуста после выпавших баров, равна , и ее нужно занять $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

для больших . $n$

Тогда средняя занятая длина в после случайных «стержней падает» $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

— Даниил
источник

Вы на правильном пути, но есть некоторые признаки того, что может потребоваться больше внимания. Возможно, наиболее важным является тот факт, что события, связанные с любыми двумя точками, не являются независимыми: что тогда оправдывает умножение вероятностей? Я также считаю, что ваше выражение для неверно. Рассмотрим, например, случай, когда . Из вашего рисунка видно, что вы предполагаете, что левая конечная точка бара имеет равномерное распределение в интервале . Следовательно, вероятность того, что покрыт, равна , что не равно .

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

— whuber

Спасибо за подсказки. Вы правы, я должен был написать, что между случайными «рисунками» должна быть нулевая корреляция. И вы также правы, вышеупомянутое решение действительно только тогда, когда бары не имеют права торчать. Как можно решить проблему, если мы позволим им высовываться?

— Даниил

Моя точка зрения такова, что даже когда столбцы опускаются случайным образом и независимо , для любого заданного значения события «этот столбец охватывает точку » и «этот же столбец охватывает точку » сильно взаимозависимы. В частности, если , они не могут происходить одновременно. Один из способов справиться с этим строго - связать вероятности с ожиданиями.

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

— whuber

Я рассмотрел граничные эффекты сейчас. Я понимаю, что занятость двух разных точек в интервале коррелирует, но я не понимаю, как это повлияет на решение.

— Даниэль