Одностороннее чебышевское неравенство для более высокого момента

Есть ли аналог чебышевского неравенства с более высоким моментом в одностороннем случае?

Неравенство Чебышева-Кантелли, похоже, работает только для дисперсии, в то время как неравенство Чебышева может быть легко получено для всех показателей.

Кто-нибудь знает одностороннее неравенство, использующее высшие моменты?

Для удобства обозначим через $X$ непрерывную случайную величину с нулевым средним с функцией плотности $f(x)$ и рассмотрим $P\{X \geq a\}$ где $a > 0$ . Мы имеем где g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Если n -четноецелое число, а b - любое положительное действительное число, то h ( x ) = ( x +

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ и поэтому E[h(X)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ Таким образоммы имеемчто для всех положительных действительных чисели Ь , Р { Х ≥ } ≤ Е [ ( Х + $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ $a$$b$ где самое правое ожидание в(1)являетсяn-ммоментом (nчетным)Xотносительно-b. Когдаn=2, наименьшая верхняя граница на P{X≥a}получается, когдаb=σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ дает одностороннее неравенство Чебышева (или неравенство Чебышева-Кантелли): P { X ≥ a } ≤ σ $b = \sigma^2/a$ Для больших значенийnминимизация относительноbболее сложная. $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$