Распределение непрерывного равномерного RV с верхним пределом, являющимся другим непрерывным однородным RV

10

Если и , то могу ли я сказать, что $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Я говорю о непрерывных равномерных распределениях с пределами . Доказательство (или опровержение!) Будет оценено. $[a, b]$

uniform distributions

— Блен Ваан
источник

6

Нет, это не так. В R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))довольно ясно показывает, что , безусловно, не является равномерно распределенным. (Я публикую это как комментарий, так как вы попросили предоставить доказательство, которое не должно быть трудным, но, если честно, учитывая искаженную гистограмму, я не думаю, что доказательство необходимо ...)

Y

$Y$

— Стефан Коласса

1

Изменение местоположения и масштаба дает , и в этом случае для любого числа , при условии

(и есть

иначе). Используйте

чтобы определить эту условную вероятность.

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

— whuber

13

Мы можем вывести распределение $Y$ аналитически. Во-первых, обратите внимание, что именно $Y|X$ следует равномерному распределению, т.е.

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

и так

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

который не является равномерным распределением за счет . Вот как выглядит смоделированная плотность для распределения , наложенного на то, что мы только что вычислили. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— JohnK
источник

6

Точно нет.

Для простоты определим . $a = 0, b = 1$

затем

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

Из-за строгого неравенства невозможно, чтобы Unif (0,1). $Y \sim$

— Клифф AB
источник