Как формализовать предыдущее распределение вероятностей? Есть ли практические правила или советы, которые следует использовать?

Хотя мне нравится думать, что я хорошо понимаю концепцию предварительной информации в байесовском статистическом анализе и принятии решений, у меня часто возникают проблемы с нахождением головы вокруг ее применения. Я имею в виду пару ситуаций, которые иллюстрируют мою борьбу, и я чувствую, что они не были должным образом рассмотрены в байесовских статистических учебниках, которые я читал до сих пор:

Допустим, я провел опрос несколько лет назад, который говорит, что 68% людей будут заинтересованы в покупке продукта ACME. Я решил снова провести опрос. Хотя я буду использовать тот же размер выборки, что и в прошлый раз (скажем, n = 400), с тех пор мнения людей, вероятно, изменились. Тем не менее, если бы я использовал в качестве предварительной версии бета-версию, в которой 272 из 400 респондентов ответили «да», я бы придал равный вес опросу, который я провел несколько лет назад, и опросу, который я буду проводить сейчас. Существует ли эмпирическое правило, позволяющее установить большую неопределенность, которую я хотел бы придать априорному виду, поскольку этим данным уже несколько лет? Я понимаю, что могу просто уменьшить предыдущее с 272/400, скажем, до 136/200, но это кажется крайне произвольным, и мне интересно, есть ли какая-то форма оправдания, возможно, в литературе,

Для другого примера, скажем, мы собираемся запустить клиническое испытание. Прежде чем приступить к испытанию, мы проводим некоторые дополнительные исследования, которые мы могли бы использовать в качестве предварительной информации, включая мнения экспертов, результаты предыдущих клинических испытаний (различной значимости), другие основные научные факты и т. Д. Как можно объединить этот спектр информации (некоторые из которых не являются количественными по своей природе) до предварительного распределения вероятности? Является ли это просто случаем принятия решения о том, какую семью выбрать и сделать так, чтобы она была достаточно диффузной, чтобы гарантировать, что она будет перегружена данными, или много работы сделано для создания достаточно информативного предварительного распределения?

— Фил
источник

См. Stats.stackexchange.com/questions/1/…

— Тим

Ваша идея обработать вашу предварительную информацию о 272 успехах в 400 попытках действительно имеет достаточно твердое байесовское обоснование.

$\theta$

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{β_{0} - 1}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1}$

\underline{n} = α_{0} + β_{0} - 2

$\underline{n}=\alpha_0+\beta_0-2$

\underline{n}

$\underline{n}$

α_{0} - 1

$\alpha_0-1$

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{\underline{n} - (α_{0} - 1)}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\underline{n}-(\alpha_0-1)}$

α_{0} + β_{0} - 2 = 400

$\alpha_0+\beta_0-2=400$

α_{0} - 1 = 272

$\alpha_0-1=272$

α_{0} = 273

$\alpha_0=273$

β_{0} = 129

$\beta_0=129$

α_{0} = 137

$\alpha_0=137$

β_{0} = 65

$\beta_0=65$

μ = \frac{α}{α + β} and σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\qquad\text{and}\qquad\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

alpha01 <- 273
beta01 <- 129
(mean01 <- alpha01/(alpha01+beta01))

alpha02 <- 137
beta02 <- 65
(mean02 <- alpha02/(alpha02+beta02))

но увеличивает предыдущее отклонение от

(priorvariance01 <- (alpha01*beta01)/((alpha01+beta01)^2*(alpha01+beta01+1)))
[1] 0.0005407484

(priorvariance02 <- (alpha02*beta02)/((alpha02+beta02)^2*(alpha02+beta02+1)))
[1] 0.001075066

по желанию.

— Кристоф Ханк
источник