Регрессия к среднему значению в «Мышление, быстро и медленно»

В Размышлении быстро и медленно» Даниэль Канеман ставит следующий гипотетический вопрос:

(Стр. 186). Джули в настоящее время является старшим в государственном университете. Она бегло читала, когда ей было четыре года. Какой у нее средний балл (GPA)?

Его намерение состоит в том, чтобы проиллюстрировать, как мы часто не учитываем регрессию к среднему значению при прогнозировании определенных статистических данных. В последующем обсуждении он советует:

(Стр. 190) Напомним, что корреляция между двумя показателями - в данном случае возраст чтения и средний балл - равна доле общих факторов среди их детерминант. Что вы думаете об этой пропорции? Мое самое оптимистичное предположение составляет около 30%. Исходя из этой оценки, у нас есть все, что нам нужно для непредвзятого прогноза. Вот инструкции о том, как добраться за четыре простых шага:

1. Начните с оценки среднего балла.
2. Определите средний балл, который соответствует вашему впечатлению о доказательствах.
3. Оцените корреляцию между скоростями чтения и ГПД.
4. Если корреляция равна .30, переместите 30% расстояния от среднего значения до соответствующего GPA.

Моя интерпретация его совета такова:

1. Используйте «Она бегло читает, когда ей было четыре года», чтобы установить стандартную оценку скороспелости Джулии.
2. Определите средний балл, который имеет соответствующий стандартный балл. (Рациональный ГПД для прогнозирования соответствовал бы этому стандартному баллу, если бы корреляция между ГПД и скоростями чтения была идеальной.)
3. Оцените, какой процент вариаций в GPA можно объяснить вариациями в скоростях чтения. (Я предполагаю, что он имеет в виду контекст определения «корреляция» в этом контексте?)
4. Поскольку только 30% стандартного показателя скороспелости Джули могут быть объяснены факторами, которые также могут объяснить стандартную оценку ее ГПД, мы только оправдываем прогнозирование того, что стандартная оценка ГПД Джулии будет составлять 30% от того, что было бы в случае идеальной корреляции.

Правильна ли моя интерпретация процедуры Канемана? Если так, есть ли более формальное математическое обоснование его процедуры, особенно шаг 4? В целом, какова взаимосвязь между корреляцией между двумя переменными и изменениями / различиями в их стандартных баллах?

Правильна ли моя интерпретация процедуры Канемана?

Это немного сложно сказать, потому что шаг № 2 Канемана сформулирован не очень точно: «Определите средний балл, который соответствует вашему впечатлению о доказательствах» - что именно это должно означать? Если чьи-то впечатления хорошо откалиброваны, тогда не нужно будет поправляться к среднему значению. Если чьи-то впечатления сильно искажены, то лучше исправить их еще сильнее.

Так что я согласен с @AndyW, что совет Канемана - это только практическое правило.

$z$$z$

[...] есть ли более формальное математическое обоснование его процедуры, особенно шаг 4? В целом, какова взаимосвязь между корреляцией между двумя переменными и изменениями / различиями в их стандартных баллах?

$y$$x$$z$$\rho$

$x$$y$$\rho$

Это именно то, что называется «регрессия к среднему». Вы можете увидеть некоторые формулы и выводы в дискуссии в Википедии .

Порядок ваших номеров не совпадает с цитатой Канемана. Из-за этого может показаться, что вы упускаете общий смысл.

Первая точка зрения Канемана - самая важная. Это значит буквально оценить средний балл - для всех. Смысл этого совета в том, что это ваш якорь. Любой прогноз вы даете должны быть ссылки на изменения вокруг этой точки привязки. Я не уверен, что вижу этот шаг в любом из ваших пунктов!

Канеман использует аббревиатуру, WYSIATI, что вы видите, это все, что есть. Это тенденция человека переоценивать важность информации, доступной в настоящее время. Для многих информация о способностях к чтению заставит людей думать, что Джули умная, и поэтому люди будут угадывать средний балл умного человека.

Но поведение ребенка в четыре года содержит очень мало информации, касающейся поведения взрослых. Вам, вероятно, лучше игнорировать это при составлении прогнозов. Это должно лишь немного отклонить вас от якоря. Кроме того, народы первыми догадываются о том, что ГПД для умных людей может быть очень неточным. Из-за отбора большинство старшеклассников в колледже имеют интеллект выше среднего.

На самом деле в этом вопросе есть и другая скрытая информация, кроме того, что Джули в четыре года умеет читать.

• Джули, вероятно, будет женское имя
• Она учится в государственном университете
• Она старшая

Я подозреваю, что все эти три характеристики немного повышают средний средний балл по сравнению с общей численностью студентов. Например, я держу пари, что у старшеклассников «скорее всего, средний балл выше, чем у Софмора», потому что ученики с очень плохим средним баллом выбывают.

Таким образом, процедура Канемана (как гипотетическая) будет выглядеть примерно так.

1. Средний средний балл для женщин старшего в государственном университете составляет 3,1.
2. Я предполагаю, что на основании продвинутой способности Джулии к чтению в 4 года ее средний балл составляет 3,8
3. Я думаю, что умение читать в 4 года коррелирует с ГПД, равным 0,3
4. Тогда 30% пути между 3,1 и 3,8 составляет 3,3 (т.е. 3.1 + (3.8-3.1)*0.3)

Таким образом, в этой гипотезе окончательное предположение для GPA Джулии составляет 3,3.

Регрессия к среднему значению в подходе Канемана заключается в том, что шаг 2, вероятно, будет грубой переоценкой важности имеющейся информации. Таким образом, лучшая стратегия состоит в том, чтобы вернуть наш прогноз обратно к общему значению. Шаги 3 и 4 представляют собой (специальные) способы оценки степени регрессии.