Должны ли нулевые и альтернативные гипотезы быть исчерпывающими или нет?

Я часто видел утверждения о том, что они должны быть исчерпывающими (примеры в таких книгах всегда приводились таким образом, что это действительно так), с другой стороны, я также видел много раз, когда книги заявляли, что они должны быть эксклюзивными ( например, как и как ), без выяснения исчерпывающего вопроса. Только перед тем, как вводить этот вопрос, я нашел несколько более сильное утверждение на странице Википедии - «Альтернативой не должно быть логическое отрицание нулевой гипотезы». $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Может ли кто-нибудь более опытный объяснить, что это правда, и я был бы признателен за то, чтобы пролить некоторый свет на (исторические?) Причины такого различия (в конце концов, книги были написаны статистиками, то есть учеными, а не философами).

hypothesis-testing

— greenoldman
источник

Ответы:

В принципе, нет оснований для того, чтобы гипотезы были исчерпывающими. Если проверка касается параметра где является ограничением , альтернатива может иметь любую форму если $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Пример того, почему исчерпывающая способность не имеет большого смысла, - это сравнение двух семейств моделей: и . В таком случае исчерпаемость невозможна, поскольку альтернатива должна будет охватывать все возможные вероятностные модели. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Сиань
источник

Спасибо, знаете ли вы случайно, почему так часто встречается требование быть исчерпывающим? Помимо простого недоразумения, потому что это было бы одним из самых распространенных недоразумений :-).

— Гринольдман

Я не понимаю пример. Когда вы сравниваете два семейства моделей

между ними, кажется, исчерпываются все возможные модели в семействе. Если вы позволите пустому и альтернативному не покрыть каждую такую модель, вы усложните процесс оценки теоретического риска теста (как в теории, так и на практике).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@whuber: ты неправильно понял мой пример. Как написано выше, альтернатива

состоит из четко определенного семейства моделей, где

охватывает весь набор возможных значений, а не из всех возможных вероятностных моделей. Поэтому это не является исчерпывающим. Это критика, высказанная против байесовского подхода к тестированию, см., Например, философа науки Дебору Майо в книге «Ошибки и умозаключения»

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Сиань,

Я думаю, что я правильно читаю ваш пример, Сиань, но, очевидно, я борюсь с тем, что вы подразумеваете под «исчерпывающим». Его использование в вашем ответе и комментариях, по-видимому, означает «включает в себя все вероятностные распределения», но в большинстве ситуаций проверки гипотез это не имеет значения. В данной ситуации «исчерпывающий» должен означать «включающий в себя все распределения, включенные в модель» (например, все нормальные распределения для теста нормальной теории).

— whuber

Основная причина, по которой вы видите требование, чтобы гипотезы были исчерпывающими, заключается в том, что происходит, если истинное значение параметра находится в области, которая не охватывается ни нулевой, ни альтернативной гипотезой. Тогда тестирование на уровне достоверности становится бессмысленным, или, что еще хуже, ваш тест будет смещен в пользу нулевого значения - например, односторонний тест в форме против , когда на самом деле $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ . $\theta < 0$

Пример: односторонний тест для против из нормального распределения с известным и истинным . При размере выборки 100 тест 95% будет отклонен, если , но 0,1645 фактически на 2,645 стандартных отклонений выше истинного среднего значения, что приводит к фактическому уровню теста около 99,6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Кроме того, вы исключаете возможность удивления и изучения чего-то интересного.

Однако можно также рассматривать его как определение пространства параметров как подмножества того, что обычно можно считать пространством параметров, например, среднее нормальное распределение часто считается лежащим где-то на реальной линии, но если мы односторонний тест, мы, по сути, определяем пространство параметров как часть строки, охватываемую нулем и альтернативой.

— jbowman
источник

Спасибо, вы допустили ошибку в формулировке, не исключительной, а исчерпывающей (первая строка).

— Гринольдман

Концептуально односторонний тест - это действительно тест в форме

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$ против

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$ скорее, чем

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$ против

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$ , В элементарных изложениях, особенно в Интернете, это различие затенено, но оно тщательно и правильно обрабатывается в статистической литературе и хороших учебниках. Таким образом, мы не ограничиваем пространство параметров.

— whuber

whuber - вы правы насчет одностороннего теста, конечно. Я пытался, хотя и неумело, описать, что могло бы произойти, если бы гипотезы на самом деле не были исчерпывающими, что в этом случае произошло бы, если бы нулевые значения были

θ = 0

$\theta = 0$ , Если мы действительно хотим придерживаться нулевой точки и односторонней альтернативы и иметь исчерпывающие гипотезы, мне кажется, мы должны переопределить пространство параметров, как указано выше.

— Jbowman

Действительно @whuber? Нулевая гипотеза в одностороннем тесте - это неравенство, которое включает непроверенный хвост? Это имеет гораздо больше смысла для меня! Но, как вы говорите, это было представлено в моем курсе как точка равенства. Благодарю за разъяснение.

— Джеймс