Сумма коэффициентов полиномиального распределения

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ Я бросаю честный кубик. Всякий раз, когда я получаю 1, 2 или 3, я записываю «1»; всякий раз, когда я получаю 4, я записываю '2'; всякий раз, когда я получаю 5 или 6, я записываю «3».

Пусть будет общим количеством бросков, которое мне нужно, чтобы произведение всех чисел, которые я записал, было . Я хочу вычислить (или приблизительный) , и приближение может быть дано как функция нормального распределения. $N$ $\geq 100000$ $\P(N\geq 25)$

Во-первых, я знаю, что потому что . Теперь пусть , и - количество раз, которое я записал 1, 2 и 3 соответственно. Затем: $\P(N\geq 11) = 1$ $\log_3 100.000 \approx 10.48$ $a$ $b$ $c$

P (a, b, c ∣ n) = {\begin{cases} (\binom{n}{a, b, c}) {(\frac{1}{2})}^{a} {(\frac{1}{6})}^{b} {(\frac{1}{3})}^{c} & if a + b + c = n \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$

То, что я хочу рассчитать, это:

P (a + b + c \geq 25 ∣ 2^{b} 3^{c} \geq 100000)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$

Как мне рассчитать это?

--РЕДАКТИРОВАТЬ:

Поэтому было предложено заменить это условие на:

P (a + b + c \geq 25 ∣ α a + β b + γ c \geq δ)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$

где , , и . $\alpha = 0$ $\beta = \log 2$ $\gamma = \log 3$ $\delta = \log 100000$

Это выглядит более разрешимым! Я, к сожалению, до сих пор не знаю, как это решить.

— Педро Карвалью
источник

+1 Эта проблема может показаться немного более знакомой и более подходящей для более приближенных решений, если вы напишите условие в форме где и .

α a + β b + γ c \geq δ

$\alpha a + \beta b + \gamma c \ge \delta$

α = 0, β = \log (2), γ = \log (3),

$\alpha=0, \beta=\log(2), \gamma=\log(3),$

δ = \log (100000)

$\delta=\log(100000)$

— whuber

Я добавил этот новый способ написания условия, но, к сожалению, до сих пор не имею ни малейшего понятия, как это решить!

— Педро Карвалью

Еще один намек на то, что если есть вхождений '2', вы остановитесь. Таким образом, вы можете аппроксимировать это отрицательным биномом с параметрами и (также с и ). Точный ответ также выполним, так как комбинаций не так много. Кроме того, условие не является точным - необходимо указать, что «2» или «3» были записаны в й бросок

17

$17$

17

$17$

0.5

$0.5$

11

$11$

1 / 3

$1/3$

N

$N$

— вероятностная

Ответы:

Настоящий вопрос представляет собой особый случай, когда вы имеете дело с величиной, которая является линейной функцией полиномиальной случайной величины. Можно точно решить вашу проблему, перечислив полиномиальные комбинации, которые удовлетворяют требуемому неравенству, и суммируя распределение по этому диапазону. В случае, когда велико, это может стать невозможным в вычислительном отношении. В этом случае можно получить приближенное распределение, используя нормальное приближение к многочлену. Обобщенная версия этого приближения показана ниже, а затем применяется к вашему конкретному примеру. $N$

Задача общего приближения. Предположим, у нас есть последовательность заменяемых случайных величин с диапазоном . Для любого мы можем сформировать вектор счета , который подсчитывает число вхождения каждого исхода в первые значений последовательности. Поскольку базовая последовательность является заменяемой, вектор счета распределяется как: $1, 2, ..., m$ $n \in \mathbb{N}$ $\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$ $n$

\begin{array}{ll} X ~ Mu (n, θ) & θ = lim_{n \to \infty} X (n) / n . \end{array}

$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$

Теперь предположим, что у нас есть некоторый вектор неотрицательных весов и мы используем эти веса для определения линейной функции: $\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

A (n) \equiv \sum_{i = 1}^{m} w_{i} X_{i} .

$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$

Поскольку веса неотрицательны, эта новая величина не уменьшается по . Затем мы определяем число , которое является наименьшим числом наблюдений, необходимых для получения определенного минимального значения для нашей линейной функции. Мы хотим приблизить распределение в случае, когда это значение (стохастически) велико. $n$ $N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$ $N(a)$

Решение проблемы общей аппроксимации. Во-первых, отметим, что, поскольку не уменьшается по (что верно, поскольку мы предположили, что все веса неотрицательны), имеем: $A(n)$ $n$

P (N (a) ⩾ n) = P (N (a) > n - 1) = P (A (n - 1) < a) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$

Следовательно, распределение непосредственно связано с распределением . Предполагая, что первая величина велика, мы можем приблизить распределение последней, заменив дискретный случайный вектор непрерывным приближением из многомерного нормального распределения. Это приводит к нормальному приближению для линейного количества , и мы можем непосредственно вычислить моменты этой величины. Для этого мы используем тот факт, что , и для . С некоторой базовой алгеброй это дает нам: $N$ $A$ $\boldsymbol{X}$ $A(n)$ $\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$ $\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$ $\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$ $i \neq j$

μ \equiv E (\frac{1}{n} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i},

$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$

σ^{2} \equiv V (\frac{1}{\sqrt{n}} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i} - {(\sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i})}^{2} = μ (1 - μ) .

$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$

Принятие нормального приближения к полиному дает теперь приблизительное распределение . Применение этого приближения дает: $A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

P (N (a) ⩾ n) = P (A (n - 1) < a) \approx Φ (\frac{a - (n - 1) μ}{\sqrt{(n - 1) μ (1 - μ)}}) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$

(Символ является стандартным обозначением для стандартной функции нормального распределения.) Можно применить это приближение, чтобы найти вероятности, относящиеся к величине для заданного значения . Это базовое приближение, которое не пыталось включить коррекцию непрерывности на значения базовых значений многочленного счета. Его получают, взяв нормальное приближение, используя те же первые два центральных момента, что и точную линейную функцию. $\Phi$ $N(a)$ $a$

Применение к вашей проблеме: в вашей задаче у вас есть вероятности , веса и предельное значение . Поэтому у вас есть (округление до шести десятичных знаков) . Применяя вышеприведенное приближение, мы имеем (округление до шести десятичных знаков): $\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$ $\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$ $a = \ln 100000$ $\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

P (N (a) ⩾ 25) \approx Φ (\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}) = Φ (- 0.019838) = 0.492086.

$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$

Используя точное полиномиальное распределение, суммируя по всем комбинациям, удовлетворяющим требованию , можно показать, что точный результат равен . Следовательно, мы можем видеть, что приближение довольно близко к точному ответу в данном случае. $\mathbb{P}(A(24) < a)$ $\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

Надеемся, что этот ответ даст вам ответ на ваш конкретный вопрос, а также поместит его в более общие рамки вероятностных результатов, которые применяются к линейным функциям полиномиальных случайных векторов. Настоящий метод должен позволить вам получить приблизительные решения проблем общего типа, с которыми вы сталкиваетесь, с учетом изменения конкретных чисел в вашем примере.

— Бен - Восстановить Монику
источник

Давайте сделаем нормальное приближение.

Во-первых, давайте полностью перефразируем вашу проблему в журналах. Вы начинаете с 0 в момент времени t = 0. Затем на каждом временном шаге вы добавляете:

0 с вероятностью 1/2
$\log(2)$ с вероятностью 1/6
$\log(3)$ с вероятностью 1/3

Вы останавливаете этот процесс, когда ваша сумма превышает в этот момент вы смотрите, сколько бросков вы сделали. Количество бросков, которое потребовалось вам, чтобы достичь этой точки, равно ^ $\log(10^5)$ $N$

Мой калькулятор сообщает мне, что среднее значение ваших приращений составляет: а дисперсия . Для справки, конечная точка находится на отметке поэтому мы доберемся до него примерно за 24 шага. $\approx 0.48$ $\approx 0.25$ $\approx 11.51$

При условии, что мы сделали 25 шагов, распределение суммы примерно равно гауссову с центром в 12,0 и с дисперсией 6,25. Это дает нам грубое гауссовское приближение $p(N\geq25)\approx 0.5$

Вам нужно взглянуть на кумулянты суммы при N = 25, чтобы узнать, является ли гауссовское приближение нормальным. Учитывая, что приращения не симметричны, приближение может быть не лучшим

— Гийом Дехене
источник

Можете ли вы завершить вывод для меня? Мне трудно это увидеть. Кроме того, нет точного способа рассчитать его?

— Педро Карвалью

Разве вы не имеете в виду «log (2)» и «log (3)», где у вас есть log (1) и log (2)?

— Glen_b

@GuillaumeDehaene писал: .... По моим расчетам, что сильно отличается от 0,5

p (N \geq 25) \approx 0.5

$p(N\geq25)\approx 0.5$

P (N \geq 25) = 1 - P (N \leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266

$P(N\geq25) = 1 - P(N\leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266$

— волки

как вы получаете P (n \ leq24) \ около 0,18?

— Гийом Дехен