Каково соотношение между расстоянием и средой выборки?


10

Пусть - выборка iid экспоненциальных случайных величин со средним значением , и пусть - статистика заказов из этого образца. Пусть .X1,,XnβX(1),,X(n)X¯=1ni=1nXi

Определить интервалыМожно показать, что каждый также экспоненциальный, со средним значением .

Wi=X(i+1)X(i)  1in1.
Wiβi=βni

Вопрос: Как мне найти , где известно и неотрицательно?P(WiX¯>t)t

Попытка: я знаю, что это равно . Поэтому я использовал закон полной вероятности следующим образом: 1FWi(tX¯)

P(Wi>tX¯)=1FWi(tX¯)=10FWi(ts)fX¯(s)ds,

который превращается в грязный, но я думаю, что податливый интеграл.

Я на правильном пути здесь? Является ли это действительным использованием закона полной вероятности?

Другой подход может заключаться в том, чтобы посмотреть на распределение различий:

P(WitX¯>0)

Или даже разбить суммы:

P(WitX¯>0)=P((X(i+1)X(i))+tn(X(1)++X(n)))

Решение экспоненциального случая было бы здорово, но еще лучше было бы какое-то общее ограничение на распределение. Или, по крайней мере, его моменты, которых было бы достаточно, чтобы дать мне неравенства Чебышева и Маркова.


Обновление: вот интеграл от первого метода:

10(1exp(tsβi))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds10(1exp((ni)tsβ))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds

Я немного поигрался с этим и не уверен, куда идти.


1
Интеграл, который вы получаете, выглядит относительно простым после распределения терминов в скобках. После изменения переменных, похоже, вы получите некоторые гамма-функции.
Алекс Р.

@AlexR действительно так и есть, но, пройдя половину пути, я начал подозревать, что он не будет ограничен между 0 и 1. Я больше ищу подтверждение того, что я правильно решил проблему. Если я застряну с самим интегралом, я спрошу на Math.SE
shadowtalker

Ответы:


6

Трудность, с которой вы столкнулись, заключается в том, что у вас есть событие, связанное с независимыми случайными переменными. Проблема может быть упрощена и решена путем манипулирования событием, чтобы оно сравнивало независимые приращения. Для этого сначала отметим, что для каждая статистика заказа может быть записана как:X1,...,XNIID Exp(β)

X(k)=βi=1kZini+1,

где (см., например, Renyi 1953, David and Nagaraja 2003). Это позволяет нам писать и мы можем записать среднее значение образца как:Z1,Z2,...,ZnIID Exp(1)Wk=βZk+1/(nk)

X¯βnk=1nX(k)=βnk=1ni=1kZini+1=βni=1nk=inZini+1=βni=1nZi.

Для облегчения нашего анализа мы определяем количество:

at(nk)nt(nk).

Для мы имеем:a>0

P(WktX¯)=P(Zk+1nktni=1nZi)=P(nnkZk+1ti=1kZi)=P((nnkt)Zk+1tikZi)=P((nnkt)ZtG)=P(ZaG),

где и являются независимыми случайными величинами. Для тривиального случая, когда мы имеем . Для нетривиального случая, когда мы имеем , и вероятность интереса равна:ZExp(1)GGa(n1,1)tn/(nk)P(WktX¯)=0t<n/(nk)a>0

P(WktX¯)=0Ga(g|n1,1)agExp(z|1)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)agexp(z)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)(1exp(ag))dg=01Γ(n1)gn2exp(g)dg01Γ(n1)gn2exp((a+1)g)dg=1(a+1)(n1)=1(1nknt)n1.

Этот ответ интуитивно разумен. Эта вероятность строго уменьшается в с единичной вероятностью, когда и нулевой вероятностью, когда .tt=0t=nnk

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.