Теорема Байеса с кратными условиями

Я не понимаю, как это уравнение было получено.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Это уравнение было взято из статьи «Испытание по вероятности», где случай О.Дж. Симпсона был приведен в качестве примера задачи. Обвиняемый находится под следствием за двойное убийство, и против него представлены два доказательства.

$M_{1}$ - это случай, когда кровь подсудимого соответствует капле крови, найденной на месте преступления. $M_{2}$ - это случай, когда кровь жертвы совпадает с кровью на носке, принадлежащем ответчику. Предполагая вину, появление одного доказательства увеличивает вероятность другого. $I$ это событие подзащитный невиновенто время как $I'$ , когда он виновен.

Мы пытаемся получить ПОТОЛОК вероятности того, что обвиняемый невиновен, учитывая два доказательства.

Были даны значения для некоторых переменных, но меня интересует, как было получено уравнение. Я пытался, но ничего не получилось.

Да, я уже проверил «Вопросы, на которые уже есть ваш ответ».

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
источник

Что такое значение

? Это

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Сиань

@ Сиань да

это

другим нотации

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

По теореме Байеса: Теперь представленная вами статья утверждает, что

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Если верно, то и независимы. Но при условии вины, появление одного увеличит вероятность другого. $I$ $M_1$ $M_2$

Таким образом , и

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

Следовательно,

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

$\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$ увеличит вероятность

M_{1}

$M_1$ :

п (M_{1} | M_{2} \cap я^{'}) \geq п (M_{1} | я^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Фрэнсис
источник

Я хочу сначала поблагодарить вас за то, что нашли время помочь. Но я все еще немного растерялся. Не могли бы вы добавить номера уравнений и указать, где вы применяете более ранние уравнения в последующих подстановках? Вещи начинают иметь смысл, но я все еще не понимаю неравенства после «и», и часть, в которой вы заменяете знаменатель, и все это становится неравенством. Я предполагаю, что объяснение того, как математически переведен приведенный аргумент из статьи, могло бы помочь. Еще раз спасибо!

— Сакурабе

@Sakurabe: лучше?

— Фрэнсис

Хорошо, теперь я понял, как доказательства усиливают друг друга. Последний вопрос, мы только что уронили

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$ от знаменателя? Как в дропе без теоремы или еще чего? Я имею в виду, в этом есть какой-то смысл, поскольку он не изменит полученное неравенство из (2), плюс это также то, что я предположил, что они сделали в более раннем примере в статье, включающей только одно свидетельство ДНК (с +1 в знаменателе). ). Спасибо, я очень ценю вашу помощь.

— Сакурабе

@Sakurabe: Да, потому что этот термин неотрицателен, поэтому удаление его уменьшит знаменатель.

— Фрэнсис