Почему распределение Пуассона выбрано для моделирования процессов прибытия в задачах теории массового обслуживания?

Когда мы рассматриваем сценарии теории массового обслуживания, когда отдельные лица прибывают в обслуживающий узел и выстраиваются в очередь, обычно для моделирования времени прибытия используется процесс Пуассона. Эти сценарии возникают при проблемах сетевой маршрутизации. Я был бы признателен за интуитивное объяснение того, почему пуассоновский процесс лучше всего подходит для моделирования прибытий.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
источник

Ответы:

Процесс Пуассона включает в себя «без памяти» время ожидания до прибытия следующего клиента. Предположим, что среднее время от одного клиента до следующего . Непрерывное распределение вероятностей без памяти до следующего прибытия - это такое, при котором вероятность ожидания дополнительной минуты, или секунды, или часа и т. Д. До следующего прибытия не зависит от того, сколько времени вы ожидали с момента последнего прибытия , То, что вы уже ждали пять минут с момента последнего прибытия, не увеличивает вероятность того, что клиент приедет в следующую минуту, чем если бы вы ожидали только 10 секунд с момента последнего прибытия. $\theta$

Это автоматически подразумевает, что время ожидания до следующего прибытия удовлетворяет , то есть это экспоненциальное распределение. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

И это в свою очередь может показать, что подразумевается, что число клиентов, прибывающих в течение любого временного интервала длины удовлетворяет $X$ $t$ т.е. имеет распределение Пуассона с ожидаемым значением. Более того, это означает, что число клиентов, прибывающих в непересекающиеся интервалы времени, является вероятностно независимым. $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

Таким образом, отсутствие времени ожидания приводит к пуассоновскому процессу.

— Майкл Харди
источник

Что бы ни говорили теоремы, это экспериментальный факт, что в нормальных ситуациях прибытия не имеют памяти. Вы не можете доказать, что количество клиентов, прибывающих в какой-то период, на самом деле ничто.

Цель этого вопроса состояла не в том, чтобы попросить формальное доказательство. Много раз, наблюдения сделаны, которые приводят к теореме, и затем интуиция 'развита', чтобы соответствовать наблюдениям и таким образом помочь цементировать теорему в популярном понимании. Я искал что-то подобное. Отредактировал мой вопрос, чтобы включить то же самое.

— Вигнеш

Спасибо за ответ. Я не совсем поняла, как память без поступлений приводит к

. Не могли бы вы разработать или привести ссылку, в которой подробно об этом говорится. Благодарю.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh

Без памяти говорит

. Это то же самое, что

. Событие

совпадает с событием

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

. Следовательно, условная вероятность равна

. Отсутствие памяти говорит, что это то же самое, что

. Следовательно,

. Монотонная функция

, удовлетворяющая

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

- экспоненциальная функция. А моногородность следует из того факта, что

должно быть меньше, чем

поскольку первое событие подразумевает, но не подразумевает второе.

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Майкл Харди

Разве это не должно быть

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

Почти все введение в теорию очередей или книгу о случайных процессах будет охватывать это, например, Росс, Стохастические процессы или Kleinrock, Queuing Theory.

Для наброска доказательства того, что прибытия без памяти приводят к экспоненциальному dist'n:

Пусть G (x) = P (X> x) = 1 - F (x). Теперь, если распределение без памяти,

G (s + t) = G (s) G (t)

т.е. вероятность того, что x> s + t = вероятность того, что она больше s, и что теперь, когда она больше s, она больше (s + t). Свойство без памяти означает, что вторая (условная) вероятность равна вероятности того, что другой rv с одинаковым распределением> t.

Цитировать Росса:

«Единственные решения вышеуказанного уравнения, которые удовлетворяют любым разумным условиям (таким как монотонность, правая или левая непрерывность или даже измеримость), имеют форму:»

G (x) = exp (-ax) для некоторого подходящего значения a.

и мы находимся в экспоненциальном распределении.

— jbowman
источник

ПРОЕКТ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Роберта Галлагера: теория приложений ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) является хорошей бесплатной альтернативой для введения в стохастические процессы, включая обсуждение процесса Пуассона

— Мартин Ван дер Линден

РАФТ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Роберта Галлагера: ТЕОРИЯ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ

— Мартин Ван дер Линден