Если

9

Это не домашнее задание.

Пусть - случайная величина. Если и , следует ли из этого, что ? $X$ $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ $\text{Var}[X] = 0$ $\Pr\left(X = k\right) = 1$

Интуитивно это кажется очевидным, но я не уверен, как бы это доказать. Я точно знаю, что из предположений следует, что . Итак, Кажется, это никуда не ведет. Я мог бы попробовать Теперь, так как , следовательно, также. $\mathbb{E}[X^2] = k^2$

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$

Но если бы я использовал равенство, то мой инстинкт инстинкта таков: , так что .

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$

X \equiv k

$X \equiv k$

Откуда мне это знать? Я предполагаю доказательство от противного.

Если же , наоборот, для всех , то , и для всех . У нас есть противоречие, поэтому . К. $X \neq k$ $X$ $(X-k)^2 > 0$ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ $X$ $X \equiv k$

Является ли мое доказательство обоснованным - и если да, то, возможно, есть лучший способ доказать это утверждение?

probability

— Кларнетист
источник

@ user777 Первоначально я попробовал этот метод (как вы можете видеть в моем уравнение), но не знал, как поступить.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Кларнетист

3

Я полагаю, что неравенство Чебышева немедленно отвечает на этот вопрос.

— whuber

@whuber: по крайней мере , утверждение Википедии о неравенстве Чебышева явно требует ненулевой дисперсии. Я действительно не понимаю, нужно ли нам какое-то элементарное доказательство для случая нулевой дисперсии ...

— Стефан Коласса

1

@Stephan Вы можете легко смешать любое невырожденное распределение с диапазоном и применить неравенство, чтобы показать, что для всех и все .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Вот мера теоретического доказательства, чтобы дополнить другие, используя только определения. Мы работаем на вероятностном пространстве . Обратите внимание, что и рассмотрим интеграл . Предположим, что для некоторого существует такой что на и . Тогда аппроксимирует снизу, поэтому по стандартному определению как супремума интегралов простых функций, аппроксимирующих снизу, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ что является противоречием. Таким образом, , . Выполнено.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
источник

5

Докажите это противоречием. По определению дисперсии и вашим предположениям, вы имеете

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

где представляет собой плотность вероятности . Обратите внимание, что оба и неотрицательны. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Теперь, если , то $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

имеет меру больше нуля, и . Но потом $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(некоторые аргументы -style могут быть включены здесь) и, следовательно, $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

и ваше противоречие.

— Стефан Коласса
источник

2

Что такое ? Это так же, как как? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Во всяком случае, очевидно, что

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

предполагать

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

затем

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

Последний шаг, который я считаю, включает преемственность вероятности ... или то, что вы сделали (вы правы).

Также есть неравенство Чебышева :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Хороший разговор снова .

Кстати, почему

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Мне кажется, что а $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
источник

1

Да, ты прав. Я редактировал пост

— Clarinetist

@Clarinetist Редактировал мой тоже: P

— BCLC