Почему 95% -й ДИ для медианы должен составлять ?

В различных источниках (см., Например, здесь ) приведена следующая формула для доверительного интервала для медианы (особенно с целью нанесения надрезов на графиках типа «коробка и усы»):

$$95\%\ CI_{\rm median} = {\rm Median} \pm \frac{1.57\times IQR}{\sqrt{N}}$$

Магическая постоянная сводит меня с ума, я не могу понять, как она была получена. Различные приближения (например, предположим, что наше распределение гауссово, а большое) не дают подсказок - я получаю разные значения для константы.$1.57$$N$

Это легко. Если мы проверим оригинальную бумагу, где были представлены надрезы «ящики с усами» ( Роберт МакГилл, Джон У. Тьюки и Уэйн А. Ларсен. Вариации коробочных диаграмм , Американский статистик, том 32, № 1 (февраль, 1978), с. 12-16 ; к счастью, это на JSTOR ), мы нашли раздел 7, где эта формула обоснована следующим образом:

Если кто-то желает получить отметку, указывающую 95-процентный доверительный интервал относительно каждой медианы, будет использоваться C = 1,96. [Здесь C - это другая константа, которая связана с нашей, но точное соотношение не имеет значения, как будет ясно позже - IS]. Однако, поскольку была желательна форма «датчика зазора», которая указала бы на существенные различия на уровне 95 процентов это не было сделано. Можно показать, что C = 1,96 было бы уместно только в том случае, если стандартные отклонения двух групп были сильно различны. Если бы они были почти равны, то подходящим значением было бы C = 1,386, а 1,96 - слишком строгий тест (далеко за 99 процентов). Значение между этими пределами, C = 1,7, было выбрано эмпирически как предпочтительное. Таким образом, используемые метки были рассчитаны как$M \pm 1.7(1.25R/1.35 \sqrt{N})$ .

Акцент мой. Обратите внимание, что , что является вашим магическим числом.$1.7\times 1.25/1.35=1.57$

Итак, короткий ответ: это не общая формула для медианного КИ, а конкретный инструмент для визуализации, и константа была выбрана эмпирически для достижения конкретной цели.

Там нет магии.

Сожалею.