Всегда ли среднее значение одномерной случайной величины равно интегралу ее квантильной функции?

Я только что заметил, что интеграция квантовой функции одномерной случайной величины (обратной cdf) от p = 0 до p = 1 дает среднее значение переменной. Я не слышал об этих отношениях до сих пор, поэтому мне интересно: это всегда так? Если так, широко ли известны эти отношения?

Вот пример в Python:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Пусть $F$ будет CDF случайной величины $X$ , поэтому обратный CDF может быть записан как $F^{-1}$ . В вашем интеграле сделайте замену $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ чтобы получить

Это справедливо для непрерывных распределений. Необходимо соблюдать осторожность для других распределений, потому что обратный CDF не имеет уникального определения.

редактировать

Когда переменная не является непрерывной, она не имеет распределения, которое является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, что требует осторожности в определении обратного CDF и осторожности в вычислении интегралов. Рассмотрим, например, случай дискретного распределения. По определению, это тот, чей CDF $F$ является шаговой функцией с шагами размера $\Pr_F(x)$ при каждом возможном значении $x$ .

На этом рисунке показана CDF из Бернулли $(2/3)$ распределение масштабируется . То есть случайная величина имеет вероятность равную и вероятность равную . Высоты прыжков в и дают их вероятности. Ожидание этой переменной, очевидно, равно .$2$$1/3$$0$$2/3$$2$$0$$2$$0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$

Мы могли бы определить «обратный CDF» , требуя$F^{-1}$

Это означает, что также является шаговой функцией. Для любого возможного значения случайной величины будет достигать значения на интервале длины . Поэтому его интеграл получается суммированием значений , что является только ожиданием.$F^{-1}$$x$$F^{-1}$$x$$\Pr_F(x)$$x\Pr_F(x)$

Это график обратного CDF предыдущего примера. Скачки и в CDF становятся горизонтальными линиями этих длин на высотах, равных и , значениям, вероятностям которых они соответствуют. (Обратный CDF не определен за пределами интервала .) Его интеграл представляет собой сумму двух прямоугольников, один из которых имеет высоту и основание , а другой - высоту и основание , всего , как и раньше.$1/3$$2/3$$0$$2$$[0,1]$$0$$1/3$$2$$2/3$$4/3$

В общем, для смеси непрерывного и дискретного распределения нам нужно определить обратный CDF, чтобы параллельна этой конструкции: при каждом дискретном скачке высоты мы должны формировать горизонтальную линию длины как определено в предыдущей формуле.$p$$p$

Эквивалентный результат хорошо известен в анализе выживаемости : ожидаемое время жизни где функция выживания S ( t ) = Pr ( T > t ), измеренная с рождения при t = 0 . (Его можно легко расширить, чтобы охватить отрицательные значения t .)

Таким образом, мы можем переписать это как но это ∫ 1 q = 0 F - 1 ( q

Мы оцениваем:

Давайте попробуем с простой заменой переменной:

И мы замечаем, что по определению PDF и CDF:

почти всюду. Таким образом, мы имеем по определению ожидаемое значение:

Для любой вещественной случайной величины с cdf F хорошо известно, что F - 1 ( U ) имеет тот же закон, что и X, когда U равномерно по ( 0 , 1 ) . Следовательно, ожидание X , когда оно существует, совпадает с ожиданием F - 1 ( U ) : E ( X ) = E ( F - 1 ( U ) ) $X$$F$ $F^{-1}(U)$$X$$U$$(0,1)$$X$$F^{-1}(U)$

$F(x)$$P(X\le x)$$F^{-1}$