Доказать / Не подтвердить

Доказать / Не подтвердить $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

---

Учитывая , отфильтрованный вероятностное пространство $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ , пусть $A \in \mathscr{F}$ .

Пусть

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ ли из этого, что $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ Как насчет $\forall s < t$ ?

Что если вместо этого

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ Или что если $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

---

Что я пробовал:

---

Если , затем E [ 1 A ] = 1 , что равно 1 A = 1 (почти наверняка). В этом случае E [ 1 A | F s ] = 1 (почти наверняка) для каждого s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$$\Bbb E[1_A]=1$$1_A=1$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$$s$

Аналогично, если , тогда E [ 1 A ] = 0 , что равно 1 A = 0 (почти наверняка). В этом случае E [ 1 A | F s ] = 0 (почти наверняка) для каждого s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$$\Bbb E[1_A]=0$$1_A=0$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$$s$

Если , для константы p ∈ ( 0 , 1 ) , тогда имеем$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$$p\in(0,1)$

. Это может не сработать, если s > t .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$$s>t$

В качестве альтернативы для случая :$= p$

Пусть - ограниченная F t -измеримая случайная величина.$F$$\mathscr F_t$

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

Это означает, что и F являются независимыми. Другими словами, σ ( A ) и F t независимы. Таким образом, σ ( A ) и F s также независимы, если s < t и, следовательно, E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Это может не сработать, если s > t .$1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

Я предполагаю , что идея состоит в том, что константа одновременно зависит от и F s -измеримой$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ .

Ваш аргумент кажется верным, но вы начинаете с предположения, что . Однако в вопросе говорится, что E [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 } , что я бы сказал, что случайная величина E [ 1 A | F t ] принимает значения в наборе { 0 , 1 }, т. Е. E [ 1 A | $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$ гдеB∈ F t . Определяющее свойство этого условного ожидания является точто ∫ F 1 B d P = ∫ F 1 д Р для всехF∈ F т . В частности, выборF=Bприводит кP(B)=P(A∩B), из чего можно сделать вывод, чтоB⊂$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$$\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$$P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(кроме, возможно, на множестве вероятности ноль). Однако мы также знаем (как в написанном вами аргументе), что т. Е. P ( A ) = P ( B ) , поэтому единственный возможный вывод состоит в том, что A = B (за исключением, возможно, набора вероятностей, равного нулю).$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

Для , F t ⊂ F s , поэтому закон башни для условных ожиданий подразумевает, что E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | F s ] . Но Е [ 1 А | F t ] = 1 A , поэтому E [ 1 A | F s ] $s\gt t$$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ . Таким образом, все условные ожидания для s > t равны ( 1 A ). Для s < t , если A ∈ F s, тогда у нас все еще будет E [ 1 A | F сек ] = 1 . С другой стороны, если мы вернемся ко времени, когда A не находится в F s , то я не думаю, что что-то можно сказать о E [ 1 A | F s$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$$A\in\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$В основном. Конкретный пример см. В этой статье , рис. 1. Если взять , например, , то получим последовательность условных ожиданий E [ 1 A | F 0 ] = $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$,E[1A| F1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$,E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}.$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$