Среднее значение выбранного штампа из бесконечной серии бросков

13

Если я кидаю пару кубиков бесконечное количество раз и всегда выбираю более высокое значение из двух, будет ли ожидаемое среднее из самых высоких значений превышать 3,5?

Казалось бы, так и должно быть, потому что если бы я бросил миллион костей и выбрал самое высокое значение каждый раз, шансы были бы ошеломляющими, что шестерки будут доступны в каждом броске. Таким образом, ожидаемое среднее значение должно быть примерно 5.999999999999 ...

Тем не менее, я не могу понять, какое ожидаемое значение было бы в моем примере, используя всего 2 кубика. Может ли кто-нибудь помочь мне прийти на номер? Это едва ли превысит 3,5? Это даже то, что можно рассчитать?

dice

— Джейсон
источник

3

Можете ли вы перечислить образец пространства? Перечислите возможности для примера с 2 кубиками.

— Soakley

6

Эксперимент также может быть смоделирован. Этот подход полезен, когда перечисление сложно (например, бросание 3 кубика).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Nishanth
источник

30

Для этого не нужно использовать симуляцию, общий случай довольно легко анализировать. Пусть будет количеством костей, а будет максимальным броском, сделанным при броске костей. $n$ $X$ $n$

Отсюда следует, что и вообще

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

$n = 2$

— Erik
источник

2

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

11

Я предлагаю просто проработать тривиальный случай, чтобы увидеть ответ.

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Ожидаемое значение суммы равно 7. Это так, потому что рулоны являются идентичными независимыми чертежами, поэтому их можно суммировать. Ожидание бросания кубического кубика составляет 3,5.

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

$n$ $n$ $n$

— d0rmLife
источник

2

Предполагая, что каждая из 36 комбинаций имеет равную вероятность, нам просто нужно сложить значения каждой из 36 комбинаций и разделить на 36, чтобы получить среднее значение:

1 возможность: 11
3 варианта: 12, 21, 22
5 возможностей: 13, 23, 31, 32, 33
7 возможностей: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 возможностей: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 возможностей: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

— Briguy37
источник

1

Troll Dice Roller - это инструмент для определения вероятностей игры в кости. У него есть статья, объясняющая реализацию, но она довольно академическая.

max(2d6) доходность

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— QuestionC
источник