Метод второго момента, броуновское движение?

Пусть - стандартное броуновское движение. Пусть обозначает событие и пусть где обозначает функцию индикатора. Существует ли такое, что для для всех ? Я подозреваю, что ответ - да; Я пытался возиться с методом второго момента, но без особой пользы. Можно ли это показать методом второго момента? Или я должен попробовать что-то еще? $B_t$ $E_{j, n}$

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$

1

$1$

ρ > 0

$\rho > 0$

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$

n

$n$

— Ученик
источник

Во-первых, если ваша сумма не равна: поскольку ваше событие намекает на то, что скорость роста равна так что можно было бы ожидать ваша сумма, чтобы иметь условий, нет?

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— Грант Измирлян

Не ответ, но, возможно, полезная переформулировка

Я предполагаю, что комментарий, сделанный выше, является правильным (то есть сумма имеет условия). $2^{n+1}$

Обозначим Обратите внимание, что если

p_{n} (ρ) = P (K_{n} > ρ 2^{n}) = P (K_{n} / 2^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

Первый пункт: если вы спросите, существует ли такой для всех n, вам нужно показать, что для некоторого предел положителен тогда, если имеет положительный предел и все значения положительные, его необходимо отделить от нуля, скажем, . Затем поэтому у вас есть желаемое свойство для . $\rho$ $\delta$

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$

Так что вам просто нужно показать предел $p_n$ чтобы быть положительным.

Затем я бы исследовал переменную $K_n/2^n$ и ее ожидаемое значение

— krzmip
источник