Половина дискретной случайной величины?

9

Пусть $X$ дискретная случайная величина принимает значения в $\mathbb{N}$ . Я хотел бы наполовину эту переменную, то есть найти случайную переменную $Y$ такую как:

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

где является независимой копией . $Y^*$ $Y$

Я называю этот процесс вдвое ; это выдуманная терминология. В литературе найден подходящий термин для этой операции?
Мне кажется, что такой всегда существует, только если мы принимаем отрицательные вероятности. Я прав в своих наблюдениях? $Y$
Существует ли понятие наилучшего положительного соответствия ? Ака случайная переменная, которая будет «ближайшей» для решения уравнения выше. $Y$

Спасибо!

random-variable

— Джоанн Верморел
источник

1

В тех случаях, когда вы не можете «пополам» точно, есть несколько возможных определений «ближайший»; это зависит от того, что вы хотите оптимизировать.

— Glen_b

10

Понятие, сильно связанное с этим свойством (если оно слабее), это разложимость . Разложимый закон - это распределение вероятностей, которое можно представить как распределение суммы двух (или более) нетривиальных независимых случайных величин. (И неразложимый закон не может быть написан таким образом. «Или более» определенно не имеет значения.) Необходимым и достаточным условием разложимости является то, что характеристическая функция является произведением из двух (или более) характерных функций.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Я не знаю, имеет ли свойство, которое вы рассматриваете, уже имя в теории вероятностей, возможно, связано с бесконечной делимостью . Что является гораздо более сильным свойством , но включает в себя это свойство: все бесконечно делимые rv действительно удовлетворяют этому разложению. $X$

Необходимым и достаточным условием этой «первичной делимости» является то, что корень характеристической функции снова является характеристической функцией.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

В случае распределений с целочисленной поддержкой это случается редко, поскольку характеристическая функция является полиномом от . Например, случайная величина Бернулли не разложима. $\exp\{it\}$

Как указано на странице Википедии о разложимости , существуют также абсолютно непрерывные распределения, которые неразложимы, например, с плотностью

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

В случае, когда характеристическая функция является вещественной, можно использовать теорему Поли: $X$

Теорема Полиа. Если φ - действительная, четная непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
тогда φ - характеристическая функция абсолютно непрерывного симметричного распределения.

Действительно, в этом случае снова вещественная. Следовательно, достаточное условие для $\varphi^{1/2}$ $X$ первичной делимости является то, что φ выпукло по корню. Но это относится только к симметричным распределениям, поэтому имеет гораздо более ограниченное применение, чем, например, теорема Бехнера .

— Сиань
источник

6

Есть некоторые особые случаи, когда это верно, но для произвольного дискретной случайной величины ваше «деление на два» невозможно.

Сумма двух независимых биномиальных случайных величин является биномиальной случайной величиной, поэтому бином может быть «разделен пополам». Упражнение: выяснить, является ли Бином $(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$ можно ли «пополам» случайную переменную .
Аналогично, случайная величина отрицательного биномиального может быть «уменьшена вдвое». $(2n,p)$
Сумма двух независимых пуассоновских случайных величин является пуассоновской ; и наоборот, пуассоновская случайная величина является суммой двух независимых пуассоновских $(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ случайные величины. В самом деле, как указывает @ Xi'an в комментарии,случайная величинаПуассонаможет быть «уменьшена вдвое» столько раз, сколько нам нужно: для каждого натурального числаэто сумманезависимых пуассонов $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ случайные величины. $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Дилип Сарватэ
источник

2

+1 Насколько я помню, дискретная униформа - это особый случай, когда это невозможно (я думаю, что есть множество других, но я рассмотрел этот вариант).

— Glen_b

Действительно, равномерное распределение разложимо, но не делится в указанном выше смысле.

— Сиань

2

Распределение Пуассона является одним примером бесконечно делимого распределения, поэтому его можно разделить на сумму произвольного числа iid-переменных.

— Сиань

-1

$\frac{1}{2}$ ? Вместо того чтобы писать копию (копия всегда зависит), вы должны написать «две независимые, но одинаково распределенные случайные величины».

Чтобы ответить на ваши вопросы,

$X$ $X$
$Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
Я не видел ни одного, и я не могу себе представить, как формализовать такое лучшее соответствие. Обычно приближения к случайным переменным измеряются нормой на пространстве случайных величин. Я не могу думать о приближениях случайных переменных или неслучайных переменных.

Я надеюсь, что смогу помочь.

— mattd
источник