Как вычислить

Я пытаюсь решить проблему для своей диссертации, и я не вижу, как это сделать. У меня есть 4 наблюдения, случайно взятых из равномерного $(0,1)$ распределения. Я хочу вычислить вероятность того, что $3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$ . $X_{(i)}$ - это статистика i-го порядка (я беру статистику по порядку, чтобы мои наблюдения ранжировались от наименьшего к наибольшему). Я решил это для более простого случая, но здесь я заблудился, как это сделать.

Вся помощь будет приветствоваться.

Запишите статистику заказа как , 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ 1 . Начнем с того, что x 1 ≤ x 2 подразумевает$(x_1,x_2,x_3,x_4)$$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$x_1 \le x_2$

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

Это последнее событие разбивается на два непересекающихся события в зависимости от того, какой из и больше: ( х 2 + х 3 ) /$x_2$$(x_2+x_3)/2$

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

Поскольку совместное распределение является равномерным на множестве , с плотностью ,4 ! д х 4 д х 3 д х 2 д х $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

а также

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

(Каждый интеграл легко выполнить как итеративный интеграл; участвуют только полиномиальные интегрирования.)

Следовательно, желаемая вероятность равна = .1 /$1 - (1/4 + 7/12)$$1/6$

редактировать

Более умное решение (которое упрощает работу) вытекает из признания того, что когда у есть Exponential распределения, , то (запись ) Масштабные частичные суммы 1 ≤ j ≤ n + 1 y 1 + y 2 + ⋯ + y n + 1 = $y_j$$1\le j\le n+1$$y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

Y n ≥ $1\le i\le n$ , распределяются как статистика однородного порядка. Поскольку почти наверняка является положительным, из этого легко следует, что для любого ,$Y$ $n\ge 3$

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$