Как показать, что оценка является последовательной?

Достаточно ли показать, что MSE = 0 при $n\rightarrow\infty$ ? Я также прочитал в своих заметках кое-что о плиме. Как мне найти plim и использовать его, чтобы показать, что оценка соответствует?

estimation convergence consistency

— Терпение
источник

РЕДАКТИРОВАТЬ: Исправлены мелкие ошибки.

Вот один из способов сделать это:

Оценка $\theta$ (назовем это $T_n$ ) непротиворечива, если она сходится по вероятности к $\theta$ . Используя вашу запись

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Сходимость по вероятности математически означает

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$

Самый простой способ показать сходимость по вероятности / согласованности - это вызвать неравенство Чебышева, которое гласит:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Таким образом,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

И поэтому вам нужно показать, что переходит в 0 как . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

РЕДАКТИРОВАТЬ 2 : Выше требуется, чтобы оценщик был по меньшей мере асимптотически несмещенным. Как указывает Дж. Кернс, рассмотрим оценку (для оценки среднего ). смещено как для конечного и асимптотически, и как . Однако не является последовательной оценкой . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

РЕДАКТИРОВАТЬ 3 : См очки кардинала в комментариях ниже.

@ G.JayKerns Объективность не нужна для этого. Рассмотрим . - это предвзятая оценка стандартного отклонения, но вы можете использовать приведенный выше аргумент, чтобы показать, что оно непротиворечиво.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Хорошо выглядит (+1); и я удалю мои предыдущие комментарии.

@ G.JayKerns Ваши комментарии были необходимым дополнением. Мы всегда должны быть уверены, что знаем о допущениях, под которыми мы работаем.

@MikeWierzbicki: Я думаю, что нам нужно быть очень осторожными, особенно с тем, что мы подразумеваем под асимптотически непредвзятым . Есть по крайней мере два разных понятия, которые часто получают это имя, и важно различать их. Обратите внимание, что в общем случае неверно, что согласованная оценка асимптотически несмещена в том смысле, что даже если среднее значение существует для всех . Многие люди называют сходимость непредвзятостью в пределе или приблизительной непредвзятостью ... (продолжение)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

— кардинал

Очевидно, что для смещения согласованной оценки в пределе сходимость в должна завершиться неудачей, поскольку где .

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— кардинал