Как рассчитать ожидаемое значение стандартного нормального распределения?

Я хотел бы узнать, как рассчитать ожидаемое значение непрерывной случайной величины. Представляется , что ожидаемое значение , где является функция плотности вероятности .

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

Предположим, что функция плотности вероятности имеет вид который является плотностью стандартное нормальное распределение. $X$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

Итак, я бы сначала подключил PDF и получил который выглядит довольно грязно. Константа может быть перемещена за пределы интеграла, давая

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Я застрял здесь. Как рассчитать интеграл? Я делаю это правильно это далеко? Это самый простой способ получить ожидаемое значение?

random-variable pdf expected-value

— ММХ
источник

название вашего вопроса вводит в заблуждение. Вы на самом деле пытаетесь рассчитать ожидаемое значение стандартной нормальной случайной величины. Вы также можете рассчитать ожидаемое значение функции RV. Я бы предпочел поставить в заголовке: «Как рассчитать ожидаемое значение стандартного нормального распределения». Или «Как рассчитать ожидаемое значение непрерывной случайной величины».

— Gumeo

@ GuðmundurEinarsson исправлено.

— ммч

«Я застрял здесь. Как рассчитать интеграл?» Найдите производную . (Нет, я не шучу и не предлагаю вам ненужную занятую работу; я смертельно серьезен; просто сделайте это!). Затем пристально посмотрите на производную, которую вы нашли.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Дилип Сарватэ

Ответы:

Вы почти на месте, следуйте своему последнему шагу:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$ .

Или вы можете напрямую использовать тот факт, что - нечетная функция, а пределы интеграла - симметрия. $xe^{-x^2/2}$

— Глубокий Север
источник

Аргумент симметрии работает только в том случае, если обе половины сами сходятся.

— Glen_b

Не могли бы вы объяснить, что происходит во втором ряду?

— ммч

Комментарий Глена верен, если он не сходится, то изменение переменных не будет работать

— Глубокий север

Вторая строка равна первой строке, так как также отмечают отрицательный знак в начале. Затем вы можете подумать об изменении переменной для интеграции, затем вы вернете ее обратно, поскольку пределы не изменились. Или вы можете использовать интегрировать по частям. И помните

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— Глубокий север

Чтобы использовать симметрию, чтобы получить среднее значение, вам нужно знать, что сходится - это имеет место для этого случая, но в целом вы не можете этого допустить. Например, аргумент симметрии сказал бы, что среднее значение стандартного Коши равно 0, но у него его нет.

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b

Поскольку вы хотите изучить методы вычисления ожиданий и некоторые простые способы, вам понравится использовать функцию генерирования моментов (mgf).

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

Метод работает особенно хорошо, когда функция распределения или ее плотность даны как экспоненты. В этом случае вам не нужно делать какую-либо интеграцию после того, как вы наблюдаете

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

потому что, записывая стандартную функцию нормальной плотности в как (для константы , значение которой вам не нужно знать), это позволяет вам переписать ее mgf как $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

В правой части, после члена , вы узнаете интеграл от общей вероятности нормального распределения со средним значением и единицей дисперсии, который, следовательно, равен . следовательно $e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

Так как нормальная плотность становится малой при больших значениях так быстро, проблем сходимости не возникает, независимо от значения . узнаваемо аналитичен в , что означает, что он равен серии Маклаурина $t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

Однако, поскольку сходится абсолютно для всех значений , мы также можем написать $e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

Два сходящихся степенных ряда могут быть равны только в том случае, если они равны от термина к члену, откуда (сравнение членов, включающих ) $t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

подразумевая

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

(и все ожидания нечетных степеней равны нулю). Практически без усилий вы получили ожидания всех положительных интегральных степеней одновременно. $X$ $X$

Вариации этого метода могут работать так же хорошо в некоторых случаях, например, при условии, что диапазон соответственно ограничен. Однако, mgf (и его близкие родственники характеристической функции ) настолько полезны, что вы найдете их в таблицах свойств распределения, например, в записи Википедии о нормальном распределении . $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$

— Whuber
источник