Что такое «момент» о «моментах» распределения вероятностей?

Я ЗНАЮ, что такое моменты и как их вычислять и как использовать функцию генерации моментов для получения моментов более высокого порядка. Да, я знаю математику.

Теперь, когда мне нужно смазать свои статистические знания для работы, я подумал, что с таким же успехом могу задать этот вопрос - это мучало меня в течение нескольких лет, и когда я вернулся в колледж, ни один профессор не знал ответа или просто отклонил бы вопрос (честно) ,

Так что же означает слово «момент» в этом случае? Почему этот выбор слова? Мне это не кажется интуитивно понятным (или я никогда не слышал об этом еще в колледже :) Если подумать, мне одинаково любопытно использовать его в «момент инерции»;), но давайте пока не будем заострять на этом внимание.

Итак, что означает «момент» распространения и что он стремится сделать и почему это слово! :) Почему кого-то волнуют моменты? В этот момент я чувствую иначе об этом моменте;)

PS: Да, я, вероятно, задавал аналогичный вопрос о дисперсии, но я ценю интуитивное понимание, а не «посмотрите в книгу, чтобы узнать» :)

Согласно статье «Первое (?) Появление общих терминов в математической статистике» Г. А. Дэвида, первое использование слова «момент» в этой ситуации было в письме Карла Пирсона 1893 года к природе , озаглавленном «Асимметричные кривые частоты» .

В статье Биометрики Неймана 1938 года «Историческая записка о вычитании моментов бинома Карлом Пирсоном» дается хороший обзор письма и последующих работ Пирсона о моментах биномиального распределения и методе моментов. Это действительно хорошее чтение. Надеюсь, у вас есть доступ к JSTOR, потому что у меня сейчас нет времени, чтобы дать хорошее резюме статьи (хотя я сделаю это в эти выходные). Хотя я упомяну одну статью, которая может дать представление о том, почему был использован термин «момент». Из статьи Неймана:

В ней [мемуары Пирсона] рассматриваются в основном методы аппроксимации непрерывных частотных кривых с помощью некоторых процессов, включающих вычисление простых формул. Одной из рассмотренных формул была «точка-бином» или «бином с загруженными ординатами». Формула
отличается от того, что сегодня мы называем бином, а именно. (4), только с коэффициентом , представляющим область под непрерывной кривой, которую желательно разместить.$\alpha$

Это то, что в итоге привело к «методу моментов». Нейман рассказывает о выводе Пирсоном биномиальных моментов в вышеприведенной статье.

И из письма Пирсона:

Перейдем теперь к поиску первых четырех моментов системы прямоугольников вокруг GN. Если инерция каждого прямоугольника может рассматриваться как сосредоточенная вдоль его средней вертикали, мы должны иметь момент вокруг NG, записывающий . d = c ( 1 + n q $s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Это намекает на тот факт, что Пирсон использовал термин «момент» как намек на «момент инерции», термин, распространенный в физике.

Вот скриншот большей части письма Пирсона о Природе :

Вы можете просмотреть всю статью на странице 615 здесь .

У каждого есть свой момент на моменты. У меня были свои имена в Кумуланте и имена моментов за пределами дисперсии, асимметрии и эксцесса , и я потратил некоторое время на чтение этой ужасной темы.

Как ни странно, я не нашел «упоминания о моменте» в статье Г. А. Дэвида. Поэтому я пошел к книге Карла Пирсона «Научная жизнь в статистическую эпоху » Т. М. Портера и Карла Пирсона и «Истоки современной статистики: эластик». становится статистиком . Он, например, отредактировал «Историю теории упругости и прочности материалов» от Галилея до настоящего времени .

Его опыт был очень широк, и он был особенно профессором техники и эластика, который принимал участие в определении изгибающих моментов пролета моста и расчета напряжений на каменных дамбах. В эластичности, только наблюдать, что происходит (разрыв) ограниченным образом. Он, казалось бы, интересовался (из книги Портера):

графический расчет или, в его наиболее достойном и математическом виде, графическая статика.

Потом :

С самого начала своей статистической карьеры и даже до этого он подбирал кривые, используя «метод моментов». В механике это означало сопоставление сложного тела с простым или абстрактным телом, имеющим тот же центр масс и «радиус качания», соответственно первый и второй моменты. Эти величины соответствовали в статистике среднему значению и разбросу или дисперсии измерений вокруг среднего значения.

И с тех пор:

Пирсон имел дело с дискретными интервалами измерения, это была сумма, а не интеграл

Инерционные моменты могут обозначать сводку движущегося тела: вычисления могут выполняться так, как если бы тело было сведено к одной точке.

Пирсон создал эти пять равенств в виде системы уравнений, которые объединены в одну девятую степень. Численное решение было возможно только путем последовательных приближений. Реальных решений могло быть целых девять, хотя в данном случае их было только два. Он представил оба результата вместе с оригиналом и был в целом доволен появлением результата. Он, однако, не полагался на визуальный контроль, чтобы решить между ними, но рассчитал шестой момент, чтобы выбрать лучший матч

Давайте вернемся к физике. Момент - это физическая величина, которая учитывает локальное расположение физического свойства, как правило, относительно определенной порядковой точки или оси (классически в пространстве или времени). Он суммирует физические величины, измеренные на некотором расстоянии от эталона. Если величина не сконцентрирована в одной точке, момент «усредняется» по всему пространству с помощью интегралов или сумм.

По-видимому, понятие моментов можно проследить до открытия принципа действия рычага, «открытого» Архимедом. Одним из первых известных явлений является латинское слово «momentorum» с существующим общепринятым смыслом (момент о центре вращения). В 1565 году Федерико Коммандино перевел работу Архимеда (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) как:

Центр тяжести каждой твердой фигуры - это та точка внутри нее, вокруг которой со всех сторон стоят части равного момента.

или же

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, около четвертого числа unique partes aequalium momentorum

Очевидно, что аналогия с физикой довольно сильна: из сложной дискретной физической формы найдите величины, которые в достаточной мере приближаются к ней, в виде сжатия или экономии.

Будучи чрезмерно упрощенными, статистические моменты являются дополнительными дескрипторами кривой / распределения. Мы знакомы с первыми двумя моментами, и они обычно полезны для непрерывных нормальных распределений или подобных кривых. Однако эти первые два момента теряют свою информационную ценность для других распределений. Таким образом, другие моменты предоставляют дополнительную информацию о форме / форме распределения.

Вопрос: Так что же означает слово «момент» в данном случае? Почему этот выбор слова? Мне это не кажется интуитивно понятным (или я никогда не слышал об этом еще в колледже :) Если подумать, мне одинаково любопытно использовать его в «момент инерции»;), но давайте пока не будем заострять на этом внимание.

Ответ: На самом деле, в историческом смысле момент инерции, вероятно, является источником слова «моменты». Действительно, можно (как показано ниже) показать, как момент инерции связан с дисперсией. Это также дает физическую интерпретацию высших моментов.

В физике момент - это выражение, связанное с произведением расстояния и физической величины, и, таким образом, он определяет, как физическая величина расположена или организована. Моменты обычно определяются относительно фиксированной контрольной точки; они имеют дело с физическими величинами, измеренными на некотором расстоянии от этой контрольной точки. Например, момент силы, действующей на объект, часто называемый крутящим моментом, является произведением силы на расстояние от контрольной точки, как в примере ниже.

Менее запутанным, чем обычно используемые названия , например, гиперплоскость и т. Д. Для более высоких моментов, будут моменты от кругового движения, например, моменты инерции для кругового движения , для твердых тел, что является простым преобразованием. Угловое ускорение является производной угловой скорости, которая является производной угла по времени, то есть . Учтите, что второй момент аналогичен крутящему моменту, приложенному к круговому движению, или, если вы хотите, ускорение / замедление (также вторая производная) этого кругового (т. Е. Углового,$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$) движение. Точно так же третий момент - это скорость изменения крутящего момента и т. Д. И т. Д. Для еще более высоких моментов для создания скоростей изменения скоростей изменения скоростей изменения, то есть последовательных производных кругового движения. Возможно, это легче представить на реальных примерах.

Существуют ограничения на физическое правдоподобие, например, где объект начинается и заканчивается, т. Е. Его поддержка, что делает сравнение более или менее реалистичным. Давайте возьмем пример бета-распределения, которое имеет (конечную) поддержку на [0,1], и покажем соответствие для этого. Функция плотности бета-распределения ( pdf ): где и - это гамма-функция , .

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

Средний затем первый момент вращения вокруг оси для беты - функция на графику как жестко вращающегося тонкого лист равномерной плотности площади с минимальными -значением , прикрепленных к (0,0,0) происхождений, с его основанием в плоскости . как показано для , то есть , ниже $z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

Обратите внимание, что ничто не мешает нам переместить тонкий лист бета-распределения в другое место и изменить его масштаб, например, с до , или изменить вертикальную форму, например, чтобы весло, а не горб.$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

Чтобы вычислить дисперсию бета-распределения, мы вычислили бы момент инерции для сдвинутого бета-распределения со средним значением размещенным на оси вращения , который для , то есть , где - момент инерции, выглядит следующим образом:$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

Теперь для более высоких так называемых «центральных» моментов, то есть моментов о среднем, таких как асимметрия и эксцесс, мы вычисляем момент вокруг среднего из Это также можно понимать как производную кругового движения.∫ 1 0 ( г - μ ) п & beta ; ( г ; α , β $n^{\text{th}}$n

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

Что если мы хотим вычислить в обратном направлении, то есть взять трехмерный твердый объект и превратить его в функцию вероятности? Затем все становится немного сложнее. Например, давайте возьмем тор .

Сначала мы берем его круглое поперечное сечение, затем превращаем его в полуэллипс, чтобы показать плотность любой плоской монеты, подобной срезу, а затем конвертируем монету в монету клиновидной формы, чтобы учесть увеличение плотности с увеличением расстояния ( ). из оси , и, наконец, мы нормализуем для области, чтобы сделать функцию плотности. Это обрисовано в общих чертах ниже с математикой, оставленной читателю.$r$$z$

Наконец, мы спрашиваем, как эти эквивалентности относятся к движению? Обратите внимание, что, как указано выше, момент инерции можно связать со вторым центральным моментом, , AKA, дисперсией. Тогда , то есть отношение крутящего момента, и углового ускорения, . Затем мы бы дифференцировались, чтобы получить более высокие степени изменения во времени.σ 2 I = $I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$