Учитывая n равномерно распределенных r.v, что такое PDF для одного rv, деленного на сумму всех n r.v?

10

Меня интересует следующий тип случая: существует n непрерывных случайных величин, которые должны быть равны 1. Каким будет PDF для любой отдельной такой переменной? Итак, если , то меня интересует распределение для , где и распределены равномерно. Конечно, в этом примере среднее значение составляет , так как среднее значение составляет всего , и хотя распределение R в пространстве легко моделировать, я не знаю, каково реальное уравнение для PDF или CDF. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Эта ситуация связана с дистрибутивом Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Только Ирвин-Холл является распределением суммы n равномерных случайных величин, тогда как я хотел бы, чтобы распределение для одного из n равномерных rv делилось на сумму всех n переменных. Спасибо.

uniform

— user3593717
источник

1

Если непрерывной равномерной случайной величины суммировались до , то при , , и поэтому распределение такое же , как распределение , верно?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Дилип Сарват

1

Я должен исправить себя: N равномерных распределений не составляют 1. Я предполагаю, что они равны от 0 до 1, и поэтому их сумма может быть любой от 0 до N. Я думаю взять каждую равномерную переменную и разделить это путем суммирования всех N равномерных переменных, чтобы получить набор из N случайных величин, сумма которых равна 1 и имеет ожидаемое значение 1 / N. Примечание: я убрал слово «униформа» из моего первого предложения. Распределение, которое я ищу, не является равномерным, но получается путем деления одной из N равномерных переменных на сумму всех N равномерных переменных. Я просто не знаю как.

— user3593717

Там, где экспоненциально распределены, вектор нормализованных переменных имеет распределение Дирихле. Это может представлять интерес само по себе, но изученное может также обеспечить тактику для такого типа ситуации.

X_{i}

$X_i$

— предположения

4

Точки останова в домене делают его несколько грязным. Простой, но утомительный подход заключается в достижении конечного результата. Для $n=3,$ пусть $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ и $T = 1 + W.$ Тогда $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Эти контрольные точки находятся на 1 для $Y,$ 1 и 2 для $W,$ 2 и 3 для $T,$ и $1/3$ и $1/2$ для $Z.$ Я нашел полный PDF, чтобы быть

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Затем можно найти cdf как

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— soakley
источник

+1 Хорошо. Кроме того, ваша плотность прекрасно согласуется с моделированием.

— Glen_b

2

Пусть . Мы можем найти cdf , вычислив $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ Затем мы дифференцируем и подставляем pdf Ирвина-Холла для получения желаемого pdf:

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

Отсюда становится немного грязно, но вы должны иметь возможность поменять местами интеграл и суммирование, а затем выполнить подстановку (например,

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$

) оценить интеграл и, следовательно, получить явную формулу для PDF.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Брент Керби
источник

1

Если предположить,

«N равномерных распределений не составляют 1».

Вот как я начал (это неполно):

Рассмотрим и пусть с небольшим злоупотреблением обозначениями. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Рассмотрим и: $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Затем следует преобразование переменных :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Совместная функция вероятности определяется как: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Где и $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

И,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Таким образом,

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

и $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— rightskewed
источник

0

Предположим, что мы уже знаем, что сумма имеет распределение Ирвина-Холла. Теперь ваш вопрос меняется, чтобы найти PDF (или CDF) $U(0,1)$ когда X имеетраспределениеаимеет распределение Ирвина-Холла. $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

Во- первых , мы должны найти , что он совместный ПДФ и . $X$ $Y$

Пусть $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

затем

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Поскольку идентифицированы с следовательно, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

Совместное распределение с составляет $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Затем давайте интегрируем и мы можем получить совместное распределение и то есть совместное распределение и $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Как предположил Вубер, теперь я изменил пределы

\begin{matrix} (1) & час (Y_{1}, Y_{3}) знак равно \int_{Y_{1} + 1}^{Y_{3} - 1} г (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) d Y_{2} знак равно \int_{Y_{1} + 1}^{Y_{3} - 1} 1 d Y_{2} знак равно Y_{3} - Y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Теперь мы знаем совместный pdf из то есть совместный pdf и равен . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Далее позвольте найти PDF $\frac{X}{Y}$

Нам нужно еще одно преобразование:

Пусть $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Тогда $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

затем

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

$X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

$y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & {час}_{2} (Y_{2}) знак равно \int_{0}^{1} (Y_{3} - Y_{1} - 2) \frac{Y_{1}}{Y_{2}^{2}} d Y_{1} знак равно \frac{1}{Y_{2}^{2}} (\frac{Y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

$X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

$y_3$

$Y_3=X_1+X_2+X_3$

$Y_3$

$n=3$

— Глубокий Север
источник

2

Симуляция, кажется, не согласна с этим PDF.

— Glen_b

Логика и шаги кажутся правильными, но я чувствую себя некомфортно из-за этого решения.

— Глубокий север

2

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$