Что это за компромиссная дисперсия для коэффициентов регрессии и как ее получить?

9

В данной работе , ( байесовский вывод для Компоненты дисперсии , используя только Error Контрастов , Харвилл, 1974), автор утверждает

(Y - Икс β)^{'} {ЧАС}^{- 1} (Y - Икс β) знак равно (Y - Икс \hat{β})^{'} {ЧАС}^{- 1} (Y - Икс \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} ({Икс}^{'} {ЧАС}^{- 1} Икс) (β - \hat{β})

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)=(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$ чтобы быть "хорошо известны отношения", для линейной регрессии

y = X β + ϵ,

$y=X\beta+\epsilon,$ где

ϵ \sim N (0, H),

$\epsilon\sim\mathcal{N}(0, H).$

Как это хорошо известно? Какой самый простой способ доказать это?

— Sibbs Gambling
источник

1

Это в википедии , см. «Деривация» там.

— user603

@ user603 Вы не против сделать ссылку более понятной? Спасибо!

— Sibbs Gambling

@ user603 К сожалению, я не вижу, как ссылка решает проблему. Для меня, в моем случае, это уравнение Var (y) = смещение + ... Можете ли вы уточнить?

— Sibbs Gambling

4

@SibbsGambling Обратите внимание, что в этой формуле взвешенной линейной регрессии ваше уравнение имеет два связанных с дисперсией члена . Термин слева связан с дисперсией вокруг истинной модели (взвешенной по матрице точности

). Первое слагаемое справа связано с дисперсией вокруг подогнанных моделей. Второй член справа связан с квадратом смещения. Это компромисс между дисперсией и смещением.

H^{- 1}

$H^{-1}$

— EdM

6

Последний член в уравнении можно записать в виде

(X β - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (X β - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta})'H^{-1}(X\beta - X\hat{\beta}).$

В этой форме уравнение говорит что-то интересное. Предполагая, что положительно определен и симметричен, так же как и его обратное. Следовательно, мы можем определить внутреннее произведение , что дает нам геометрию. Тогда выше равенство по существу говорит , что $H$ $<x, y>_{H^{-1}} = x'H^{-1}y$

(X β - X \hat{β}) ⊥ (y - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta}) \perp (y - X\hat{\beta}).$

Я хотел дать вам немного интуиции, поскольку комментатор уже оставил ссылку на вывод.

Изменить: для потомства

LHS:

\begin{array}{rcl} (y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) & = & y^{'} H^{- 1} y & - & 2 y^{'} H^{- 1} X β & + & β^{'} X^{'} H^{- 1} X β \\ = & (A) & - & (B) & + & (C) \end{array}

$\begin{eqnarray} (y-X \beta)'H^{-1}(y-X \beta) &=& y'H^{-1}y &-& 2y'H^{-1}X \beta &+& \beta'X'H^{-1}X\beta \\ &=& (A) &-& (B) &+& (C) \end{eqnarray}$

RHS:

(y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

\begin{array}{rcl} = & y^{'} H^{- 1} y & - 2 y^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + β X^{'} H^{- 1} X β & - 2 \hat{β} X^{'} H^{- 1} X β & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} \\ = & (A) & - (D) & + (E) & + (C) & - (F) & + (E) \end{array}

$\begin{eqnarray} &=& y'H^{-1}y &- 2y'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \beta X'H^{-1}X\beta &- 2\hat{\beta}X'H^{-1}X\beta &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} \\ &=& (A) &- (D) &+ (E) &+ (C) &- (F) &+ (E) \end{eqnarray}$

Связь:

\hat{β} = (X^{'} H^{- 1} X)^{- 1} X^{'} H^{- 1} y

$\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

Вставив соотношение, вы можете показать, что (B) = (F) и что 2 (E) = (D). Все сделано.

— jlimahaverford
источник

Извините, я не вижу, как ссылка решает проблему. Для меня, в моем случае, это уравнение Var (y) = смещение + ... Можете ли вы уточнить?

— Sibbs Gambling

@SibbsGambling отредактировал мой ответ, включая вывод.

— Jlimahaverford

y

$y$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

7

Они достигают этой идентичности методом, называемым завершением квадрата. Левая часть находится в квадратичной форме, поэтому начните с ее умножения

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = y^{'} H^{- 1} y - 2 y^{'} H^{- 1} X β + β^{'} X^{'} H^{- 1} X β

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)= y'H^{-1}y - 2y'H^{-1}X\beta + \beta'X'H^{-1} X\beta$

$\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

— bill_e
источник

2

Если вы знаете свою матричную алгебру, то это можно сделать, умножив все и убедившись, что у вас действительно одинаковое значение с обеих сторон. Это то, что Jlimahaverford продемонстрировал.

$\hat{\beta}$ . Мы можем вывести формулу аналогично линейной регрессии, когда у нас есть некоррелированные члены ошибки. Хитрость заключается в стандартизации.

Вот некоторая информация о том, как стандартизировать RV, который исходит из многомерного нормального распределения. Предположим, что у вас есть

X \sim N (μ, Σ) .

$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma).$

Σ

$\Sigma$

Σ = P P^{T}

$\Sigma = PP^T$

Y = P^{- 1} (X - μ)

$\mathbf{Y}=P^{-1}(\mathbf{X}-\mu)$

N (0, I)

$\mathcal{N}(0,I)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

H = P P^{T}

$H=PP^T$

\begin{aligned} y & = X β + ϵ \\ P^{- 1} y & = P^{- 1} X β + P^{- 1} ϵ \end{aligned}

$\begin{align} y&=X\beta+\epsilon\\ P^{-1}y &= P^{-1}X\beta + P^{-1}\epsilon \end{align}$

ϵ

$\epsilon$

cov (P^{- 1} ϵ) = I

$\text{cov}(P^{-1}\epsilon)=I$

Итак, у нас есть проблема регрессии:

\tilde{X} = P^{- 1} X, \tilde{y} = P^{- 1} y and \tilde{ϵ} = P^{- 1} ϵ .

$\tilde{X}=P^{-1}X,\qquad \tilde{y}=P^{-1}y\quad\text{and}\quad \tilde{\epsilon}=P^{-1}\epsilon.$

\tilde{y} = \tilde{X} β + \tilde{ϵ}

$\tilde{y}=\tilde{X}\beta+\tilde{\epsilon}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\begin{aligned} \hat{β} & = ({\tilde{X}}^{T} \tilde{X})^{- 1} {\tilde{X}}^{T} \tilde{y} \\ = ((P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} X)^{- 1} (P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} y \\ = (X^{T} (P P^{T})^{- 1} X)^{- 1} X (P P^{T})^{- 1} y \\ = (X^{T} H^{- 1} X)^{- 1} X H^{- 1} y \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta} &= (\tilde{X}^T\tilde{X})^{-1}\tilde{X}^T\tilde{y}\\ &=((P^{-1}X)^TP^{-1}X)^{-1}(P^{-1}X)^TP^{-1}y\\ &=(X^T(PP^T)^{-1}X)^{-1}X(PP^T)^{-1}y\\ &=(X^TH^{-1}X)^{-1}XH^{-1}y \end{align}$

— Gumeo
источник