Что такое случайные переменные?

49

Как бы вы объяснили iid (независимый и одинаково распространяемый) нетехническим людям?

random-variable intuition

— user333
источник

55

Это означает «Независимо и одинаково распределено».

Хорошим примером является последовательность бросков справедливой монеты: у монеты нет памяти, поэтому все броски являются «независимыми».

И каждый бросок равен 50:50 (головы: хвосты), так что монета является и остается справедливой - распределение, из которого каждый бросок, так сказать, извлекается, остается и остается тем же: «одинаково распределенным».

Хорошей отправной точкой была бы страница Википедии .

::РЕДАКТИРОВАТЬ::

Перейдите по этой ссылке для дальнейшего изучения концепции.

— vonjd
источник

11

Интересно, не создаст ли ложный пример броска монеты впечатление, что каждое событие должно быть равновероятным ...

— Майкл МакГоуэн,

1

Итак, не обязательно ли, чтобы случайные величины IID были равновероятными? если они не равновероятны, то как объяснить «одинаково распределенное»? Заранее большое спасибо ...

6

@Nalini «равнозначный» не является синонимом «одинаково распределенного». Если и являются iid, это означает, что они взяты из одного и того же распределения, а не что все значения в этом распределении одинаково вероятны (представьте себе нормальное распределение). и будут иметь одинаковое ожидаемое значение.

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

— Джейсон Морган

Если две переменные являются независимыми и нормально распределенными, но имеют различное среднее значение и дисперсию, они все еще находятся внутри?

— Спурра

1

@spurra Я так не думаю .. они просто независимы

— user3595632

22

Нетехническое объяснение:

Независимость - это очень общее понятие. Два события считаются независимыми, если возникновение одного не дает вам никакой информации относительно того, произошло другое событие или нет. В частности, вероятность того, что мы приписываем второе событие, не зависит от знания того, что первое событие произошло.

Пример независимых событий, возможно одинаково распределенных.
Подумайте о подбрасывании двух разных монет одну за другой. Предполагая, что ваш большой палец не уставал чрезмерно, когда он подбрасывал первую монету, разумно предположить, что знание того, что первый бросок монеты привел к появлению голов, никак не влияет на то, как вы думаете, какова вероятность попадания голов на втором броске. Два события как говорят, являются независимыми событиями.
${first coin toss resulted in Heads} and {second coin toss resulted in Heads}$
- Если мы знаем или настойчиво настаиваем на том, что две монеты имеют разные вероятности получения голов, то события распределяются не одинаково.
- Если мы знаем или предполагаем, что две монеты имеют одинаковую вероятность появления Голов, то вышеупомянутые события также одинаково распределены, что означает, что они обе имеют одинаковую вероятность возникновения . Но обратите внимание, что если , вероятность Heads не равна вероятности Tails. Как отмечается в одном из комментариев, «идентичное распределение» не совпадает с «одинаково вероятным». $p$ $p$ $p = \frac 12$
Пример одинаково распределенных независимых событий.
Рассмотрим урну с двумя шарами, одним черным и одним белым. Дотягиваемся до него и вытягиваем два шарика один за другим, выбирая первый случайным образом (и это, конечно, определяет цвет следующего шарика). Таким образом, два одинаково вероятных результата эксперимента - (белый, черный) и (черный, белый), и мы видим, что первый шар одинаково вероятен как черный или белый, так же как и второй шар также одинаково вероятен как черный или белый. Другими словами, события безусловно, распределены одинаково, но они определенно не
${first ball drawn is Black} and {second ball drawn is Black}$ $\{\text{first ball drawn is Black}\}~~\text{and}~~\{\text{second ball drawn is Black}\}$ независимые события. Действительно, если мы знаем, что первое событие произошло, мы точно знаем, что второе не может произойти. Таким образом, в то время как наша первоначальная оценка вероятности второго события равна , как только мы узнаем, что первое событие произошло, нам лучше всего пересмотреть нашу оценку вероятности второго выпадения, которая будет черной с до , $\frac 12$ $\frac 12$ $0$

— Дилип Сарватэ
источник

«Как отмечается в одном из комментариев,« идентичное распределение »не совпадает с« одинаково вероятным ».« В чем разница? «одинаково вероятный» означает, что головы одинаково вероятны как хвосты? Принимая во внимание, что «идентично распределенный» означает, что каждое событие имеет одинаковую вероятность глав?

— Красный горох

3

@TheRedPea Не совсем. Если у нас есть предвзятая монета, которая поднимает H с вероятностью , то события «Первый бросок - это Н» и событие «Второй бросок - это Н» независимы и одинаково вероятны (оба имеют вероятность ). Кроме того, подбрасывает будут одинаково распределены: они оба имеют одинаковые вероятности ( и для Н и Т , соответственно) в различных бросках. Но события «Первый бросок - это Н» и «Первый бросок - это Т» не одинаково вероятны . И при этом они не независимы. Одинаковое распределение = все броски имеют одинаковое распределение .

p \neq \frac{1}{2}

$p \ne \frac 12$

p

$p$

p

$p$

1 - p

$1-p$

— Дилип Сарвэйт

2

@TheRedPea (продолжение) Одинаково вероятно означает, что два события имеют одинаковую вероятность. События могут быть определены через броски, как указано выше, или в рамках одного эксперимента. Каноническая простая модель эксперимента представляет собой выборочное пространство с исходами, в которых все исходы имеют одинаковую вероятность . Обычно это описывают словами «честная монета» или «честная игра в кости» или такими словами, как «шар выбирается случайным образом из урны с 3 зелеными шариками и 2 красными шариками» и т. Д. Только пуристы будет шутить и настаивать на том, что это должен быть "честный умирающий" ....

n

$n$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Дилип Сарватэ

Итак, идентичное распределение относится ко всему распределению вероятности, тогда как равная вероятность относится к частям этого распределения вероятности. Теперь я понимаю, спасибо.

— Красный горох

Я не уверен, что последний пример одинаково распространен. Можно ли утверждать, что « если два события не являются независимыми, они не могут быть из одинаковых распределений»? Например, в вашем примере я бы сказал, что второй розыгрыш шаров имеет другое распределение в связи с первым событием.

— Jiggunjer

3

Случайная переменная - это переменная, которая содержит вероятность всех возможных событий в сценарии. Например, давайте создадим случайную переменную, которая представляет количество голов в 100 бросках монет. Случайная переменная будет содержать вероятность получения 1 головы, 2 голов, 3 голов ..... вплоть до 100 голов. Назовём эту случайную величину X .

Если у вас есть две случайные переменные, то они являются IID (независимыми одинаково распределенными), если:

Если они независимы . Как объяснялось выше, независимость означает, что возникновение одного события не дает никакой информации о другом событии. Например, если я получу 100 голов после 100 бросков, вероятности получения голов или хвостов в следующем броске будут одинаковыми.
Если каждая случайная величина имеет одинаковое распределение . Например, давайте возьмем случайную переменную сверху - X . Допустим, Х представляет Обаму, собирающегося подбросить монету 100 раз. Теперь предположим, что Y представляет священника, собирающегося подбросить монету 100 раз. Если Обама и Священник подбрасывают монеты с одинаковой вероятностью посадки на головы, то X и Y считаются одинаково распределенными. Если мы делаем выборку повторно из Священника или Обамы, то образцы считаются одинаково распределенными.

Примечание: Независимость также означает, что вы можете умножать вероятности. Допустим, вероятность головы равна p, тогда вероятность получить две головы подряд равна p * p или p ^ 2.

— thebajo
источник

2

То, что две зависимые переменные могут иметь одинаковое распределение, может быть показано на следующем примере:

Предположим, что два последовательных эксперимента включают в себя каждые 100 бросков смещенной монеты, где общее количество головы моделируется как случайная величина X1 для первого эксперимента и X2 для второго эксперимента. X1 и X2 - биномиальные случайные величины с параметрами 100 и p, где p - смещение монеты.
Как таковые, они одинаково распределены. Однако они не являются независимыми, поскольку ценность первого достаточно информативна в отношении ценности последнего. То есть, если результат первого эксперимента равен 100 головам, это многое говорит нам о смещении монеты и, следовательно, дает нам много новой информации о распределении Х2.
Тем не менее, X2 и X1 распределены одинаково, поскольку они получены из одной и той же монеты.

Что также верно, так это то, что если 2 случайные величины являются зависимыми, то задняя часть X2 для данного X1 никогда не будет такой же, как предшествующая X2, и наоборот. В то время как когда X1 и X2 независимы, их предшественники равны своим приорам. Поэтому, когда две переменные являются зависимыми, наблюдение одной из них приводит к пересмотренным оценкам относительно распределения второй. Тем не менее, оба могут быть из одного и того же дистрибутива, просто в процессе мы узнаем больше о природе этого дистрибутива. Итак, возвращаясь к экспериментам с бросанием монеты, первоначально при отсутствии какой-либо информации мы могли бы предположить, что X1 и X2 следуют биномиальному распределению с параметрами 100 и 0,5. Но после наблюдения 100 голов подряд мы, безусловно, пересмотрели бы нашу оценку параметра p, чтобы приблизить ее к 1.

— RF7
источник

1

Агрегация нескольких случайных дро из одного и того же распределения. Пример: вытащить мрамор из сумки 10000 раз и сосчитать, сколько раз вы вытащили красный мрамор.

— Калеб
источник

1

Можете ли вы рассказать о том, как это добавляет к существующим ответам?

— mdewey

0

$X$ $\mu=3$ $\sigma^2=4$ $X \sim N(3 , 4)$

$Y$ $Y \sim N(3, 4)$ $X$ $Y$

Тем не менее, одинаковое распределение не обязательно подразумевает независимость.

— С Джалал
источник

8

У вас должен быть интересный набор «нетехнических людей», когда вы полагаетесь на технические термины, такие как «случайная величина», «нормальное распределение», «pdf», «дисперсия» и «независимость». Я бы рискнул сказать, что это пустой набор.

— whuber

« одинаковое распределение не обязательно означает независимость ». Как зависимость может влиять на две одинаково распределенные переменные? Мне кажется, что зависимость вызывает неодинаковость, но не вся неодинаковость обусловлена зависимостью .

— Jiggunjer