Престиж фокусника-парадокса

Вы, наверное, знаете фокус в фильме «Престиж» :

[СПОЙЛЕР ФИЛЬМА] Фокусник обнаружил впечатляющий фокус: он входит в машину, закрывает дверь, а затем исчезает и появляется в другой части комнаты. Но машина не идеальна: вместо того, чтобы просто телепортировать его, она дублирует его. Маг остается там, где он есть, и копия создается в другой части комнаты. Затем маг в машине незаметно падает в резервуар для воды под полом и тонет. Изменить: Вероятность утопления новой копии мага составляет 1/2 (иными словами, новая копия имеет 1/2 вероятность быть утопленной и 1/2 вероятность появления в комнате). Кроме того, резервуар для воды никогда не выходит из строя, и есть вероятность, что маг, бросившийся в резервуар, умрет.

Так что магу не очень нравится делать этот трюк, потому что «ты никогда не знаешь, где ты будешь, на другой стороне комнаты или утонул».

Теперь парадокс заключается в следующем: представьте, что фокусник проделывает трюк 100 раз. Каковы его шансы на выживание?

Правка, дополнительный вопрос: каковы шансы мага сохранить свой физический мозг и не иметь нового?

Быстрый анализ: одна рука, есть один живой маг и 100 утопленников, так что его шансы 1 из 100.

С другой стороны, каждый раз , когда он делает это, он имеет 1/2 шансы остаться в живых, так что его шансы остаться в живых.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Каков правильный ответ и почему?

Эта ошибка была подтверждена в письменных беседах Ферма, Паскаля и видных французских математиков в 1654 году, когда первые двое рассматривали «проблему точек». Простой пример:

Два человека играют в азартные игры на результат двух бросков монеты. Игрок А выигрывает, если любой флип - головы; в противном случае игрок B выигрывает. Каковы шансы игрока B на победу?

Ложный аргумент начинается с изучения множества возможных результатов, которые мы можем перечислить:

1. H : Первый бросок - головы. Игрок А выигрывает.
2. TH : только второй щелчок головы. Игрок А выигрывает.
3. ТТ : нет флип головы. Игрок Б выигрывает.

Поскольку у игрока A есть два шанса на победу, а у B - только один, шансы в пользу B равны (согласно этому аргументу) 1: 2; то есть шансы B - 1/3. Среди тех, кто защищал этот аргумент, был Жиль Персон де Роберваль , член-основатель Французской академии наук.

Сегодня эта ошибка очевидна для нас, потому что мы получили образование от людей, которые научились этому обсуждению. Фермат утверждал (правильно, но не очень убедительно), что случай (1) действительно должен рассматриваться как два случая, как если бы игра разыгралась обоими бросками, несмотря ни на что. Вызывая гипотетическую последовательность сальто, которое на самом деле не разыгрывалось, многих беспокоит. В настоящее время мы могли бы найти более убедительным просто определить вероятности отдельных случаев: вероятность (1) равна 1/2, а вероятность (2) и (3) равна 1/4, откуда вероятность того, что A выигрыш равен 1/2 + 1/4 = 3/4, а вероятность того, что победит B, равна 1/4. Эти расчеты основаны на аксиомах вероятности, которые были окончательно урегулированы в начале 20-го века, но были по существу установлены осенью 1654 года Паскалем и Фермом и популяризированы по всей Европе три года спустя Кристианом Гюйгенсом в его кратком трактате о вероятности (первый когда-либо опубликованный), De ratiociniis в ludo aleae (расчет в азартных играх).

Настоящий вопрос можно смоделировать как 100 монетных монет, с головами, представляющими смерть, и хвостами, представляющими выживание. Аргумент «1 в 100» (кстати, действительно должен быть 1/101) имеет точно такой же недостаток.

Одна рука, есть один живой маг и 100 утопленников, так что его шансы 1 из 100.

Эти рассуждения подразумевают, что каждый маг в равной степени может выжить в конце процесса. Тем не менее, только оригинал должен был выдержать все 100 испытаний, и у него были бы худшие шансы. Сравните оригинал с последним созданным клоном; ему нужно выжить только один раз, и у него есть шанс 1 к 2 быть единственным выжившим.

$\frac{1}{2^{100}}$

Вероятность того, что он выживет, равна 1 в каждом испытании, а вероятность - 1, что он умрет в каждом испытании (несмотря на отказ резервуара для воды). После дублирования «его» больше нет; есть "его".