Каково распределение для максимума (минимума) двух независимых нормальных случайных величин?

$X$$Y$$a$max ( X , Y ) X $P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

Максимум двух неидентичных нормалей можно выразить как асимметричное распределение нормалей Аззалини. См., Например, рабочий документ / презентацию Балакришнана за 2007 год

Перекошенный взгляд на статистику двумерных и многомерных заказов
Проф. Н. Балакришнан
Рабочий документ / презентация (2007 г.)

Недавняя статья ( Надараджа и Коцз - здесь можно посмотреть ) дает некоторые свойства max :$(X,Y)$

Надараджа С. и Коц С. (2008), «Точное распределение макс / мин двух гауссовских случайных величин», IEEE СДЕЛКИ В СИСТЕМАХ ОЧЕНЬ БОЛЬШОЙ ИНТЕГРАЦИИ (VLSI), VOL. 16, № 2, ФЕВРАЛЬ 2008

Для более ранней работы, см .:

Басу А.П., Гош Дж. К. Идентификация мультинормальных и других распределений в модели конкурирующих рисков. J. Multivariate Anal., Vol. 8, с. 413–429, 1978

HN Nagaraja и NR Mohan, «О независимости распределения системной жизни и причинах отказа», Scandinavian Actuarial J., pp. 188–198, 1982.

Ю. Л. Тонг, Многомерное нормальное распределение. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1990.

Можно также использовать систему компьютерной алгебры для автоматизации расчетов. Например, для с pdf и pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... PDF :$Z = max(X,Y)$

где я использую Maximumфункцию из пакета Mathematica mathStatica , и обозначает функцию ошибки.Erf

Я удивлен, что в предыдущих ответах самое интересное свойство не упоминалось: распределение кумулятивной вероятности для максимума является произведением соответствующих распределений кумулятивной вероятности.