Расчет канонической функции связи в GLM

Я думал, что каноническая функция связи происходит от естественного параметра экспоненциального семейства. Скажем, рассмотрим семейство f ( y , θ , ψ ) = exp { y θ - b ( θ $g(\cdot)$ тогдаθ=θ(µ)- каноническая функция связи. Возьмемв качестве примера распределение Бернулли:P(Y=y)=μy(1-μ)1-y=exp{ylog

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ Итак, каноническая функция связиg(μ)=log $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Но когда я вижу этот слайд , он утверждает, что Хотя это может быть легко проверено для этого конкретного распределения (и некоторых других распределений, таких как распределение Пуассона), я не вижу эквивалентности для общего случая. Кто-нибудь может дать подсказки? Спасибо ~

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$

$V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

$V$$V(\mu)^{-1}$