Карточная игра. Если я вытаскиваю четыре карты случайным образом, а вы берете шесть, какова вероятность того, что моя старшая карта выше вашей самой высокой?

Как указано в названии, скажите, что если я случайно выберу 4 карты, а вы вытянете 6 из одной колоды, какова вероятность того, что моя старшая карта превзойдет вашу старшую?

Как это изменится, если мы будем рисовать из разных колод?

Благодарность!

probability maximum

— Wudanao
источник

Это домашняя работа?

— Аксакал

На этот простой вопрос сложный ответ. Осложнения обусловлены двумя факторами:

Карты разыгрываются без замены. (Таким образом, каждый розыгрыш изменяет содержимое колоды, доступной для последующих розыгрышей.)
В колоде обычно есть несколько карт каждого достоинства, что делает ничью на максимально возможную карту.

Поскольку осложнения неизбежны, давайте рассмотрим достаточно широкое обобщение этой проблемы, а затем рассмотрим особые случаи. В обобщении «колода» состоит из конечного числа карт. Карты имеют различных «значений», которые могут быть ранжированы от самого низкого до самого высокого. Пусть будет из значений, которые ранжируются в (с самое низкое и самое высокое). Один игрок вытягивает карт из колоды, а второй игрок вытягивает карты. Какова вероятность того, что карта с самым высоким рейтингом в руке первого игрока строго $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ больше, чем карта с наивысшим рейтингом в руке второго игрока? Пусть это событие будет называться : «победа» для первого игрока. $W$

Один из способов выяснить это начинается с того, что процедура эквивалентна вытягиванию карт из колоды, когда первые из них берут карты первого игрока, а оставшиеся - карты второго игрока. Среди этих карт пусть будет наибольшим значением, а будет количеством карт этого значения. Первый игрок выигрывает только тогда, когда она держит все из этих карт. Несколько способов , в которых эти конкретные карты могут быть найдены среди карт , в то время как число способов размещения этих карт среди всех , которые были сделаны в $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ $\binom{a+b}{k}$ .

Теперь вероятность того, что является наибольшим значением, и существует таких карт, - это возможность выбрать из карт со значением и выбрать оставшиеся из нижнего значений. Поскольку есть равновероятных розыгрышей карт , ответ : $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(В этом выражении и любой биномиальный коэффициент, верхнее значение которого меньше его нижнего значения, или нижнее значение которого является отрицательным, принимается равным нулю.) Это относительно эффективный расчет, занимающий время, пропорциональное количеству карт в колоде. Поскольку он включает исключительно биномиальные коэффициенты, он поддается асимптотическим приближениям для больших значений и . $N_0=0$ $a$ $b$

В некоторых случаях вы можете захотеть изменить определение «победа». Это легко сделать: чередуя значения и , та же формула вычисляет вероятность того, что второй игрок выиграет сразу. Разница между и суммой этих двух шансов является шансом ничьей. Вы можете назначить этот шанс на ничью игрокам в любой пропорции. $a$ $b$ $1$

Во многих обычных колодах игральных карт и для . Поэтому рассмотрим любую колоду, в которой все имеют одинаковое значение, скажем, . В этом случае и предыдущая формула слегка упрощается до $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Например, с и в общей колоде из 52 карт из 13 рангов, и , . Моделирование 100 000 игр этой игры дало оценку , что является точностью почти до трех значащих цифр и незначительно отличается от того, что говорится в формуле. $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

Следующий Rкод легко модифицируются для оценки для любой палубы: просто изменения , и . Было установлено, что он запускает только 10 000 пьес, что должно занять менее секунды, и это хорошо для двух значащих цифр в оценке. $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

Выход в этом случае

Предполагаемый Pr (побед) = 0,3132 +/- 0,00464

— Whuber
источник

отличный ответ! Могу ли я спросить, что вы думаете, если каждый игрок тянет из другой колоды - изменит ли это ответ?

— Вуданао,

Да, это изменит ответ, потому что то, что рисует один человек, не зависит от того, что рисует другой игрок. В некотором смысле это более простой вопрос, потому что ответом является простой расчет вероятности того, что одна случайная переменная превысит значение другой, которая не зависит от нее.

— whuber

Обратите внимание, что, если бы не было никаких связей, ответ был бы тривиально: : из всех вытянутых карт должна быть самая высокая, и ее шанс попасть в первую очередь рука игрока является из . Но, как вы заметили, наличие нескольких карт с одинаковым значением в колоде усложняет ситуацию.

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

— Илмари Каронен,

@ Ilmari Это верно. (И именно эта идея изначально предложила решение, которое я представил.) Без связей, всегда, сумма исчезает, а дробь вычленяет, показывая, как общая формула сводится к этой простой.

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

— whuber

@WernerCD Верно, но этот эффект был объяснен: если у костюмов есть ранжирование, то нет никаких связей, и поэтому формула сводится к тому, что описывает комментарий Лимари.

— Brilliand