Должен ли я проводить отдельные регрессии для каждого сообщества или сообщество может быть просто управляющей переменной в агрегированной модели?

Я использую модель OLS с непрерывной переменной индекса ресурса в качестве DV. Мои данные собраны из трех аналогичных сообществ в географической близости друг к другу. Несмотря на это, я подумал, что важно использовать сообщество в качестве управляющей переменной. Как оказалось, сообщество значимо на уровне 1% (t-оценка -4,52). Сообщество - это номинальная / категориальная переменная, закодированная как 1,2,3 для 1 из 3 различных сообществ.

Мой вопрос заключается в том, означает ли эта высокая степень значимости, что я должен проводить регрессию в сообществах индивидуально, а не как совокупность. Иначе, делает ли это использование сообщества в качестве управляющей переменной?

Вопрос предполагает сравнение трех связанных моделей. Чтобы сделать сравнение ясным, пусть будет зависимой переменной, пусть X ∈ { 1 , 2 , 3 } будет текущим кодом сообщества, и определим X 1 и X 2 как индикаторы сообществ 1 и 2 соответственно. (Это означает, что X 1 = 1 для сообщества 1 и X 1 = 0 для сообществ 2 и 3; X 2 = 1 для сообщества 2 и X 2 = $Y$$X \in \{1,2,3\}$$X_1$$X_2$$X_1=1$$X_1=0$$X_2=1$$X_2=0$ для сообществ 1 и 3.)

Текущий анализ может быть одним из следующих:

$$Y = \alpha + \beta X + \varepsilon\quad\text{(first model)}$$

или же

$$Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon\quad\text{(second model)}.$$

В обоих случаях представляет собой набор одинаково распределенных независимых случайных величин с нулевым ожиданием. Вторая модель, скорее всего, предназначена, но первая модель будет соответствовать кодировке, описанной в вопросе.$\varepsilon$

Результатом регрессии OLS является набор подогнанных параметров (обозначенных «шляпами» на их символах) вместе с оценкой общей дисперсии ошибок. В первой модели есть один Т-тест для сравнения β к 0 . Во второй модели есть два t-критерия: один для сравнения ^ β 1 с 0 и другой для сравнения ^ β 2 с 0 . Поскольку вопрос содержит только один t-критерий, давайте начнем с изучения первой модели.$\hat{\beta}$$0$$\hat{\beta_1}$$0$$\hat{\beta_2}$$0$

Завершив , что β существенно отличается от 0 , мы можем сделать оценку Y = E [ α + β X + ε ] = α + β X для любого сообщества:$\hat{\beta}$$0$$Y$$\mathbb{E}[\alpha + \beta X + \varepsilon]$$\alpha + \beta X$

для сообщества 1 и оценка равна α + β ;$X=1$$\alpha+\beta$

для сообщества 2 и оценка равна α + 2 β ; и$X=2$$\alpha+2\beta$

для сообщества 3 и оценка равна α + 3 β . $X=3$$\alpha+3\beta$

В частности, первая модель заставляет эффекты сообщества находиться в арифметической прогрессии. Если кодирование сообщества предназначено как простой способ различения сообществ, это встроенное ограничение одинаково произвольно и, вероятно, неправильно.

Поучительно выполнить тот же подробный анализ предсказаний второй модели:

Для сообщества 1, где и X 2 = 0 , прогнозируемое значение Y равно α + β 1 . В частности,$X_1=1$$X_2=0$$Y$$\alpha + \beta_1$

$$Y(\text{community 1}) = \alpha + \beta_1 + \varepsilon.$$

Для сообщества 2, где и X 2 = 1 , прогнозируемое значение Y равно α + β 2 . В частности,$X_1=0$$X_2=1$$Y$$\alpha+\beta_2$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha + \beta_2 + \varepsilon.$$

Для сообщества 3, где , прогнозируемое значение Y равно α . В частности,$X_1=X_2=0$$Y$$\alpha$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha + \varepsilon.$$

Три параметра эффективно дают второй модели полную свободу для оценки трех ожидаемых значений отдельно. $Y$ Т-тесты оценивают ли (1) ; то есть, есть ли разница между сообществами 1 и 3; и (2) β 2 = 0 ; то есть, есть ли разница между общинами 2 и 3. Кроме того, можно проверить «контраст» β 2 - β 1 с т-тест , чтобы увидеть , различаются ли сообщества 2 и 1: это работает , потому что их разность ( α + β 2 ) - ( α $\beta_1=0$$\beta_2=0$$\beta_2-\beta_1$ = β 2 - β 1 .$(\alpha + \beta_2) - (\alpha + \beta_1)$$\beta_2-\beta_1$

Теперь мы можем оценить влияние трех отдельных регрессий. Они будут

$$Y(\text{community 1}) = \alpha_1 + \varepsilon_1,$$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha_2 + \varepsilon_2,$$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha_3 + \varepsilon_3.$$

Сравнивая это со второй моделью, мы видим, что должен совпадать с α + β 1 , α 2 должен совпадать с α + β 2 , а α 3 должен совпадать с α . Итак, с точки зрения гибкости подгонки параметров обе модели одинаково хороши. Тем не менее, предположения в этой модели о членах ошибки слабее. Все ε 1 должны быть независимыми и одинаково распределенными (iid); все ε 2 должны быть iid, и все ε 3 должны быть iid,$\alpha_1$$\alpha+\beta_1$$\alpha_2$$\alpha+\beta_2$$\alpha_3$$\alpha$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$но ничего не предполагается относительно статистических отношений между отдельными регрессиями. Таким образом, отдельные регрессии обеспечивают дополнительную гибкость:

• $\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$

• $\varepsilon_i$$\varepsilon_j$

Эта дополнительная гибкость означает, что результаты t-теста для параметров, вероятно, будут отличаться между второй и третьей моделью. (Однако это не должно приводить к различным оценкам параметров.)

Чтобы увидеть, нужны ли отдельные регрессии , сделайте следующее:

Подойдет вторая модель. График остатков против сообщества, например, в виде ряда бок о бок, трио гистограмм или даже три вероятностных графика. Ищите доказательства различных форм распределения и особенно заметно различающихся отклонений. Если это доказательство отсутствует, вторая модель должна быть в порядке. Если он присутствует, отдельные регрессии оправданы.

Когда модели являются многомерными, то есть включают другие факторы, возможен аналогичный анализ с аналогичными (но более сложными) выводами. В общем, выполнение отдельных регрессий равносильно включению всех возможных двусторонних взаимодействий с переменной сообщества (закодировано как во второй модели, а не в первой) и допускает различные распределения ошибок для каждого сообщества.

• Выбор модели (ИМХО) может быть рекомендован. Поскольку сложные модели (отдельный уклон) будут иметь более строгий штраф, таким образом, более сжатые и легкие для интерпретации модели будут «лучше».