Почему «отрицательная биномиальная» случайная величина называется так?

21

Я не понимаю, почему «отрицательная биномиальная» случайная переменная имеет такое имя. Что в этом негативного? Что в этом биномиального? Что в этом отрицательно-биномиального?

— Хатшепсут
источник

2

Также посмотрите комментарии под этим более общим вопросом - который действительно заслуживает правильного ответа, mea culpa .

— Glen_b

24

Это ссылка на тот факт, что определенный биномиальный коэффициент, который появляется в формуле для этого распределения, может быть записан проще с отрицательными числами.

Когда вы проводите серию экспериментов с вероятностью успеха , вероятность того, что вы увидите неудач после ровно испытаний, равна $p$ $r$ $k$

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

Это также можно записать как

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

и слово «отрицательный» относится к этому $−r$ в этом биномиальном коэффициенте. Посмотрите, как эта формула выглядит так же, как формула для обычного биномиального распределения, за исключением этого коэффициента знака.

Другое название для отрицательного биномиального распределения - это распределение Паскаля, поэтому оно тоже есть.

================================================== =======================

Более подробный ответ по Википедии:

Массовая функция вероятности отрицательного биномиального распределения

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Здесь количество в скобках является биномиальным коэффициентом и равно

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ .

В качестве альтернативы это количество можно записать следующим образом, объяснив название «отрицательный бином»:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ .

3

Я не понимаю ваше утверждение «Когда вы проводите серию экспериментов с вероятностью успеха p, вероятность того, что вы увидите r неудач после ровно k испытаний, равна…». Мне кажется, что формула должна быть . Где вы взяли формулу, которую вы перечислили? Я подозреваю, что вы не совсем правильно описываете случайный процесс. Вы имеете в виду вероятность получения именно отказов после проведения испытаний? Если так, то не должен ли быть ? Что тут происходит? Можете ли вы более тщательно определить событие, на которое вы ссылаетесь?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— DW

@DW Это была неудачная формулировка. Под этим подразумевается не вероятность увидеть отказов с учетом того, что было проведено испытаний, а вероятность того, что для проведения отказов потребуется испытаний .

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— амеба говорит восстановить Монику

-4

Denizens of StatsExchange, Во-первых, хорошие новости, этот автор копирует формулу Википедии, так что все хорошо там. Описание, которое написал этот автор, было неверным. Он должен был написать вероятность получения r неудач после k + r следов.
Обратите внимание, что в первых k + r-1 испытаниях есть ровно r-1 неудачи и k успехов. Следовательно, формула правильно включает в себя (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Тогда, по определению, окончательное испытание, а именно k + r-е испытание, должно быть r-м провалом. Это событие является независимым, поэтому мы просто умножаем его вероятность на 1-p, чтобы найти указанную вероятность.

— Шон Берри
источник

Добро пожаловать в Stats.SE. Воспользуйтесь возможностью принять участие в туре ( stats.stackexchange.com/tour ), если вы еще этого не сделали. Смотрите также несколько советов по форматированию справки и запишите уравнения, используя LaTeX / MathJax .

— Ertxiem - восстановить Монику