Является ли выборка из сложенного нормального распределения эквивалентной выборке из нормального распределения, усеченной до 0?

9

Я хочу моделировать с нормальной плотностью (скажем, среднее = 1, SD = 1), но хочу только положительные значения.

Одним из способов является симуляция с нормой и получение абсолютного значения. Я думаю об этом как о сложенном нормальном.

Я вижу в R есть функции для генерации усеченной случайной величины. Если я симулирую из усеченной нормали (усечение в 0), это эквивалентно сложенному подходу?

normal-distribution simulation truncation

— лощина
источник

10

Да, подходы дают одинаковые результаты для нормального распределения с нулевым средним .

Достаточно проверить, что вероятности совпадают на интервалах, потому что они порождают сигма-алгебру всех (лебеговских) измеримых множеств. Пусть - стандартная нормальная плотность: дает вероятность того, что стандартная переменная Normal лежит в интервале . Тогда для - усеченная вероятность является $\Phi$ $\Phi((a,b])$ $(a,b]$ $0 \le a \le b$

Φ_{truncated} ((a, b]) = Φ ((a, b]) / Φ ([0, \infty]) = 2 Φ ((a, b])

$\Phi_{\text{truncated}}((a,b]) = \Phi((a,b]) / \Phi([0, \infty]) = 2\Phi((a,b])$

(потому что ) и сложенная вероятность $\Phi([0, \infty]) = 1/2$

Φ_{folded} ((a, b]) = Φ ((a, b]) + Φ ([- b, - a)) = 2 Φ ((a, b])

$\Phi_{\text{folded}}((a,b]) = \Phi((a,b]) + \Phi([-b,-a)) = 2\Phi((a,b])$

из-за симметрии около . $\Phi$ $0$

Этот анализ справедлив для любого распределения, которое симметрично относительно и имеет нулевую вероятность быть . Однако если среднее значение отлично от нуля , распределение не симметрично, и оба подхода не дают одинакового результата, как показывают те же вычисления. $0$ $0$

Три распределения

На этом графике показаны функции плотности вероятности для нормального (1,1) распределения (желтый), сложенного нормального (1,1) распределения (красный) и усеченного нормального (1,1) распределения (синий). Обратите внимание, что сложенное распределение не разделяет характерную форму кривой колокола с двумя другими. Синяя кривая (усеченное распределение) - это положительная часть желтой кривой, масштабированная так, чтобы иметь единичную площадь, тогда как красная кривая (сложенное распределение) - это сумма положительной части желтой кривой и ее отрицательного хвоста (как отражено вокруг ось у).

— Whuber
источник

1

Мне нравится картина.

— Карл

5

Пусть . Распределение определенно не совпадает с распределением, $X \sim N(\mu = 1, SD=1)$ $X|X > 0$ $|X|$

Быстрый тест в R:

x <- rnorm(10000, 1, 1)
par(mfrow=c(2,1))
hist(abs(x), breaks=100)
hist(x[x > 0], breaks=100)

Это дает следующее. симуляционные гистограммы

— Карл
источник