Когда сходятся приближения рядов Тейлора к ожиданиям (целых) функций?

Возьмите ожидание вида для некоторой одномерной случайной величины и целой функции (т. Интервал сходимости - это целая вещественная линия) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

У меня есть функция, генерирующая моменты для и, следовательно, я могу легко вычислить целые моменты. Используйте ряд Тейлора вокруг а затем примените ожидание в терминах ряда центральных моментов, Сократить эту серию, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Мой вопрос: при каких условиях для случайной величины (а также для чего-либо дополнительного для $f(\cdot)$ ) аппроксимация ожидания сходится, когда я добавляю термины (то есть $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Поскольку в моем случае он не сходится (случайная переменная Пуассона и $f(x) = x^{\alpha}$ ), есть ли какие-то другие приемы для нахождения приблизительных ожиданий с целочисленными моментами, когда эти условия не выполняются?

expected-value approximation

— jlperla
источник

смотрите здесь: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Джонатан

@ Джонатан Спасибо. Смотрите мои правки сейчас, когда это стало понятнее. Очень полезно, хотя я не мог его взломать. Отсюда видно, что достаточным условием для этого является то, что моя случайная величина сильно сконцентрирована? Хотя мне трудно разобраться, как именно использовать неравенство Хоффдинга и т. Д. Для сравнения с этими заметками.

— jlperla

Что вы имеете в виду «пуассоновская случайная величина и »? Это один или два случая, и что такое PDF?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Карл

@Carl Это несколько лет назад, но, если я помню, переменная была для некоторого с PDF из en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Именно была функцией, которую я ожидал. то есть

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— Jlperla

Не уверен, что вы спрашиваете. Как насчет того, что высшие моменты от распределения Пуассона о происхождении являются многочлены Тушара в : где {фигурные скобки} обозначают числа Стирлинга второго рода?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Карл

Ответы:

По вашему предположению, что является вещественно-аналитическим, Сходится почти наверняка (фактически наверняка) к . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Стандартным условием, при котором в качестве сходимости подразумевается сходимость ожидания, т.е. является что как для некоторого такого, что . (Теорема о доминируемой сходимости.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Это условие будет выполнено, если степенной ряд сходится абсолютно как: и

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Ваш пример случайной переменной Пуассона и , , предполагает, что выше интегрируемость критерия абсолютного предела является самой слабой из возможных. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Майкл
источник

-1

Приближение будет сходиться, если функция f (x) допускает разложение в степенной ряд, т. Е. Существуют все производные. Это также будет полностью достигнуто, если производные определенного порога и выше равны нулю. Вы можете обратиться к Популису [3-4] и Старку и Вудсу [4].

— Э. Мербан
источник

«Это также будет полностью достигнуто, если производные определенного порога и выше равны нулю». Если производные существуют и равны нулю, разве это не другой способ сказать полином?

— накопление

Это неправда. Когда «все производные существуют» в точке расширения степенного ряда, степенные ряды никуда не должны сходиться . (Стандартным примером является ряд Маклаурина ) Другой - это то, что даже когда ряд действительно сходится в некоторой точке, он не должен сходиться везде. Простым примером является серия МаклауринаКогда это происходит, сходимость зависит от деталей случайной величины. Например, предположим, что имеет какое-либо распределение t-студента и рассмотримВ конце концов, даже не существует!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber