Почему меняется дисперсия выборки, если наблюдения дублируются?

Считается, что дисперсия является мерой распространения. Итак, я думал, что дисперсия 3,5равна дисперсии, 3,3,5,5так как числа распределены одинаково. Но это не так, дисперсия 3,5есть, 2а дисперсия 3,3,5,5есть 1 1/3.

Это озадачивает меня, учитывая объяснение, что дисперсия должна быть мерой распространения.

Итак, что в этом контексте означает мера распространения ?

Если вы определяете дисперсию как - аналогично дисперсии населения но при значении сэмплирования для оба сэмпла будут иметь одинаковую дисперсию.$s^2_{n}=$$\,\text{MSE}\,$$=\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$$\mu$

Таким образом, разница заключается исключительно в исправлении Бесселя в обычной формуле для выборочной дисперсии ( , который учитывает тот факт, что среднее значение выборки ближе к данным, чем среднее значение для популяции, чтобы сделать его беспристрастным (принимая правильное значение «в среднем»).$s^2_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot \text{MSE}=\frac{n}{n-1}\cdot \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$

Эффект постепенно исчезает с увеличением размера выборки, так как обращается в 1 как .$\frac{n-1}{n}$$n\to\infty$

Между прочим, нет особой причины, по которой вы должны использовать непредвзятую оценку для дисперсии - $s^2_n$ является совершенно допустимой оценкой, и в некоторых случаях может иметь преимущества по сравнению с более распространенной формой (непредвзятость не обязательно настолько велика, что сделка).

Сама дисперсия не является прямой мерой распространения. Если я удваиваю все значения в моем наборе данных, я утверждаю, что они в два раза «разбросаны». Но дисперсия увеличивается в 4 раза. Поэтому чаще говорят, что стандартное отклонение, а не дисперсия, является мерой разброса.

Конечно, такая же проблема возникает со стандартным отклонением (обычная версия $s_{n-1}$ ), как и с дисперсией - когда вы удваиваете точки, стандартное отклонение изменяется по той же причине, что и с дисперсией.

В небольших выборках коррекция Бесселя делает стандартное отклонение несколько менее интуитивным в качестве меры разброса из-за этого эффекта (дублирование выборки изменяет значение). Но многие показатели разброса сохраняют одно и то же значение при дублировании выборки; Я упомяну несколько -

• $s_n$ (конечно)

• среднее (абсолютное) отклонение от среднего

• медиана (абсолютное) отклонение от медианы

• межквартильный диапазон (по крайней мере, для некоторых определений квартилей образца)

В какой - то мнемоническом, . Таким образом, ожидаемое значение дисперсии выборки слишком мало, а разница представляет собой дисперсию среднего значения выборки.$V\,X = E\,V\,X + V\,E\,X$

Обычная формула дисперсии выборки компенсирует это, и дисперсия среднего значения выборки обратно пропорциональна размеру выборки.

В качестве крайнего примера, взятие одной выборки всегда будет показывать выборочную дисперсию 0, очевидно, не указывая дисперсию 0 для базового распределения.

Теперь для 2 и 4 равномерно взвешенных выборок поправочные коэффициенты составляют и соответственно. Таким образом, ваши расчетные ожидаемые отклонения отличаются в раза . Дисперсия самой выборки равна в любом случае. Но первый случай представляет более слабый случай для являющегося средним значением базового распределения, и любое другое значение будет означать большую дисперсию.$2/1$$4/3$$2/3$$1$$4$