Означает ли выпуклое упорядочение доминирование правого хвоста?

10

Учитывая два непрерывных распределения и , мне не ясно, существует ли отношение выпуклого доминирования между ними: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

подразумевает, что

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

имеет место или если необходимы некоторые дополнительные гипотезы, если должно быть выполнено? $(1)$

Определение выпуклого доминирования.

Если два непрерывных распределения и удовлетворяют: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] тогда мы пишем:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

и скажем, что более правильно перекошен, чем . Поскольку и являются вероятностными распределениями, также подразумевает, что производная является монотонно неубывающей и неотрицательной [1], что является выпуклым [2], что и пересекают друг друга не более двух раз [2] и что [2] для : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Выпуклые преобразования случайной величины. (1964). Амстердам: Математический Центр.
[1] Oja, H. (1981). О местонахождении, масштабе, асимметрии и куртозе одномерных распределений. Скандинавский журнал статистики. Том 8, с. 154--168
[2] Р. А. Греневельд и Г. Миден. (1984). Измерение асимметрии и куртоза. Статистик. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions

— user603
источник

1

Я полагаю, что в последнем неравенстве есть какая-то ошибка - если оно содержит , симметрия подразумевает равенство , который в свою очередь будет симметричных относительно против .

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Юхо Коккала

1

Обратите внимание, что есть после уравнения (6) из [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Юхо Коккала

ты прав. Виноват. Я исправлю это сейчас.

— user603

2

В целом это не так. Рассмотрим, например, и . $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Вы можете сразу увидеть, что . Однако . Однако верно, что с некоторого далее для всех . $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— user123456
источник

Не могли бы вы добавить некоторые объяснения к этому ответу? Это немного мало для наших стандартов!

— kjetil b halvorsen

4

Хорошо, я думаю, что это можно решить так (комментарии приветствуются):

Обозначая и распределения и и напоминая, что $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

подразумевает (Oja, 1981), что такое, что: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Поскольку смещение не влияет на выпуклое упорядочение, мы можем предположить без ограничения общности, что смещено так, что: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

так что

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Итак, кажется, что да , выпуклый порядок подразумевает доминирование правого хвоста над (или, если быть точным, некоторой версией из ) $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— user603
источник