Интеграция Метрополис-Гастингс - почему не работает моя стратегия?

Предположим, у меня есть функция которую я хочу интегрировать Конечно, предполагая, что стремится к нулю в конечных точках, нет сбоев, хорошая функция. Один из способов , который я теребил является использование алгоритма Метрополиса-Гастингса , чтобы создать список образцов от распределения пропорционально к , который отсутствует константа нормировки который я назову , а затем вычислю некоторую статистику по этим : $g(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} g (x) d x .

$\int_{-\infty}^\infty g(x) dx.$

g (x)

$g(x)$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \dots, x_n$

g (x)

$g(x)$

N = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d x

$N = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)dx$

p (x)

$p(x)$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

\frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} f (x_{i}) \approx \int_{- \infty}^{\infty} f (x) p (x) d x .

$\frac{1}{n} \sum_{i=0}^n f(x_i) \approx \int_{-\infty}^\infty f(x)p(x)dx.$

Поскольку , я могу заменить в чтобы отменить из интеграла, что приведет к выражению вида Таким образом, при условии, что интегрируется в вдоль этой области, я должен получить результат , который я мог бы просто взять обратно, чтобы получить желаемый ответ. Поэтому я мог бы взять диапазон моей выборки (чтобы наиболее эффективно использовать точки) и позволить для каждой выборки, которую я нарисовал. Таким образом, $p(x) = g(x)/N$ $f(x) = U(x)/g(x)$ $g$

\frac{1}{N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{U (x)}{g (x)} g (x) d x = \frac{1}{N} \int_{- \infty}^{\infty} U (x) d x .

$\frac{1}{N}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{U(x)}{g(x)} g(x) dx = \frac{1}{N}\int_{-\infty}^\infty U(x) dx.$

U (x)

$U(x)$

1

$1$

1 / N

$1/N$

r = x_{max} - x_{min}

$r = x_\max - x_\min$

U (x) = 1 / r

$U(x) = 1/r$

U (x)

$U(x)$ оценивает в ноль за пределами региона, где мои выборки не, но интегрируется в

1

$1$ в этом регионе. Поэтому, если я теперь возьму ожидаемое значение, я должен получить:

E [\frac{U (x)}{g (x)}] = \frac{1}{N} \approx \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{U (x)}{g (x)} .

$E\left [\frac{U(x)}{g(x)}\right ] = \frac{1}{N} \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{U(x)}{g(x)}.$

Я попытался проверить это в R для примера функции . В этом случае я не использую Metropolis-Hastings для генерации выборок, но использую фактические вероятности для генерации выборок (просто для тестирования). Я не совсем получаю результаты, которые я ищу. По сути, полное выражение того, что я бы вычислял, таково: В моей теории это должно быть равно . Это близко, но это, конечно, не сходится ожидаемым образом, я делаю что-то не так? $g(x) = e^{-x^2}$ rnorm

\frac{1}{n (x_{max} - x_{min})} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{e^{- x_{i}^{2}}} .

$\frac{1}{n(x_{\max} - x_\min)} \sum_{i=0}^n \frac{1}{ e^{-x_i^2}}.$

1 / \sqrt{π}

$1/\sqrt{\pi}$

ys = rnorm(1000000, 0, 1/sqrt(2))
r = max(ys) - min(ys)
sum(sapply(ys, function(x) 1/( r * exp(-x^2))))/length(ys)
## evaluates to 0.6019741. 1/sqrt(pi) = 0.5641896

Редактировать для CliffAB

Причина, по которой я использую диапазон, заключается в простом определении функции, которая не равна нулю в области, где находятся мои точки, но которая интегрируется в в диапазоне . Полная спецификация функции: Мне не нужно было использовать качестве этой равномерной плотности. Я мог бы использовать некоторую другую плотность, интегрированную в , например, плотность вероятности Однако это сделало бы суммирование отдельных образцов тривиальным, т.е. $1$ $[-\infty, \infty]$

U (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x_{max} - x_{min}} & x_{max} > x > x_{min} \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$U(x) = \begin{cases} \frac{1}{x_\max - x_\min} & x_\max > x > x_\min \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$

U (x)

$U(x)$

1

$1$

P (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- x^{2}} .

$P(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}.$

\frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{P (x)}{g (x)} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{e^{- x_{i}^{2}} / \sqrt{π}}{e^{- x_{i}^{2}}} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{\sqrt{π}} = \frac{1}{\sqrt{π}} .

$\frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{P(x)}{g(x)} = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{e^{-x_i^2}/\sqrt{\pi}}{e^{-x_i^2} } = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{1}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$

Я мог бы попробовать эту технику для других дистрибутивов, которые интегрируются в . Тем не менее, я все еще хотел бы знать, почему это не работает для равномерного распределения. $1$

— Майк Флинн
источник

Только быстро просматривая это, поэтому я не уверен точно, почему вы решили использовать диапазон (х). Условно, что это действительно, это крайне неэффективно! Диапазон выборки такого размера - примерно самая нестабильная статистика, которую вы можете взять.

— Клифф А.Б.

@CliffAB Нет ничего особенно особенного в том, что я использую диапазон, кроме определения равномерного распределения на интервале, где лежат мои точки. Смотрите правки.

— Майк Флинн

Я рассмотрю это позже более подробно. Но нужно учесть, что если x является набором равномерных RV, то как , range . Но если x - это набор невырожденных нормальных RV, то как , .

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

(x) \to 1

$(x) \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

range (x) \to \infty

$\text{range}(x) \rightarrow \infty$

— Cliff AB

@CliffAB Вы, возможно, были правы, я думаю, причина была в том, что границы интеграла не были фиксированными, и поэтому дисперсия оценки никогда не будет сходиться ...

— Майк Флинн

$g$ $g$ $g$

\int_{Икс} грамм (Икс) d Икс

$\int_\mathcal{X} g(x) \,\text{d}x$

p (x) \propto g (x)

$p(x)\propto g(x)$

α (x)

$\alpha(x)$

U (x)

$U(x)$

{x; α (x) > 0} \subset {x; g (x) > 0}

$\{x;\alpha(x)>0\}\subset\{x;g(x)>0\}$

\int_{X} \frac{α (x)}{g (x)} p (x) d x = \int_{X} \frac{α (x)}{N} d x = \frac{1}{N}

$\int_\mathcal{X} \dfrac{\alpha(x)}{g(x)}p(x) \,\text{d}x=\int_\mathcal{X} \dfrac{\alpha(x)}{N} \,\text{d}x=\dfrac{1}{N}$

p

$p$

1 / N

$1/N$

\hat{η} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{α (x_{i})}{g (x_{i})} x_{i} \overset{iid}{\sim} p (x)

$\hat\eta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \dfrac{\alpha(x_i)}{g(x_i)}\qquad x_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}p(x)$

\hat{η}

$\hat\eta$

α

$\alpha$

α = π

$\alpha=\pi$

\frac{α (x)}{g (x)} = \frac{1}{ℓ (x)}

$\dfrac{\alpha(x)}{g(x)} = \dfrac{1}{\ell(x)}$

ℓ (x)

$\ell(x)$

g (x) = π (x) ℓ (x)

$g(x)=\pi(x)\ell(x)$

\hat{N} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / ℓ (x_{i})}

$\hat{N}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n1\big/\ell(x_i)}$

$(\min(x_i),\max(x_i))$ $\exp\{x^2\}$

$\alpha$ $(q_{.25}(x_i),q_{.75}(x_i))$ $g$

$1/\sqrt{\pi}$

ys = rnorm(1e6, 0, 1/sqrt(2))
r = quantile(ys,.75) - quantile(ys,.25)
yc=ys[(ys>quantile(ys,.25))&(ys<quantile(ys,.75))]
sum(sapply(yc, function(x) 1/( r * exp(-x^2))))/length(ys)
## evaluates to 0.5649015. 1/sqrt(pi) = 0.5641896

Мы подробно обсуждаем этот метод в двух статьях с Дарреном Рейтом и с Жаном-Мишелем Марином .

— Сиань
источник