У этого дискретного распределения есть имя?

У этого дискретного распределения есть имя? Для $i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Я наткнулся на этот дистрибутив из следующего: У меня есть список из элементов, ранжированных по какой-либо служебной функции. Я хочу случайным образом выбрать один из элементов, смещаясь к началу списка. Итак, сначала я выбираю индекс между 1 и равномерно. Затем я выбираю элемент между индексами 1 и . Я считаю, что этот процесс приводит к приведенному выше распределению. $N$ $j$ $N$ $j$

— Том
источник

Это не дистрибутив: он не нормализован.

— whuber

@whuber Сначала я так думал (и прокомментировал, прежде чем понял, что неправильно понял и удалил комментарий), но оказалось, что я неправильно понял определение. Если у меня нет дальнейшего недопонимания, это нормализованная функция вероятности массы.

— Glen_b

Нормализовано. 1/1 появится в сумме ровно один раз (это будет в f (1)). 1/2 появится ровно дважды (это будет в f (1) и f (2)). и т. д. Таким образом, сумма всех этих сумм будет равна N, а нормализующая константа будет показана как 1 / N. проверяет

— rcorty

Более того, я не знаю, как называется этот дистрибутив. Я также не знаю, как описанный вами процесс приводит к этому дистрибутиву. Одна мысль, которая у меня возникла, заключается в том, что это звучит как отдельная версия процесса взлома клюшек, который очень хорошо поддается поиску.

— rcorty

@Glen_b Спасибо. Я читал это на мой телефон, который не оказывал

достаточно четко.

f

$f$

— whuber

Ответы:

У вас есть дискретизированная версия отрицательного лог-дистрибутива, то есть дистрибутива, чья поддержка и pdf которого . $[0, 1]$ $f(t) = - \log t$

Чтобы увидеть это, я собираюсь переопределить вашу случайную переменную, чтобы принимать значения в наборе вместо и вызывать в результате чего распределение . Тогда я утверждаю, что $\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$ $\{0, 1, 2, \ldots, N \}$ $T$

P r (T = \frac{t}{N}) \to - \frac{1}{N} \log (\frac{t}{N})

$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

при а $N, t \rightarrow \infty$ поддерживается (приблизительно) постоянным. $\frac{t}{N}$

Сначала небольшой эксперимент по моделированию, демонстрирующий эту конвергенцию. Вот небольшая реализация сэмплера из вашего дистрибутива:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Вот гистограмма большой выборки из вашего дистрибутива:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

введите описание изображения здесь

и вот наложенный логарифмический PDF:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

введите описание изображения здесь

Чтобы понять, почему происходит это сближение, начните с выражения

P r (T = \frac{t}{N}) = \frac{1}{N} \sum_{j = t}^{N} \frac{1}{j}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$

и умножить и разделить на $N$

P r (T = \frac{t}{N}) = \frac{1}{N} \sum_{j = t}^{N} \frac{N}{j} \frac{1}{N}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$

$g(x) = \frac{1}{x}$ $\frac{t}{N}$ $1$ $N$

P r (T = \frac{t}{N}) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^{1} \frac{1}{x} d x = - \frac{1}{N} \log (\frac{t}{N})

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

К какому выражению я хотел прийти.

— Мэтью Друри
источник

Добро пожаловать. Это был замечательный вопрос, и мне было очень интересно его решить.

— Мэтью Друри

Похоже, это связано с распределением Уитворта. (Я не верю, что это распределение Уитворта, поскольку, если я правильно помню, это распределение набора упорядоченных значений, но, похоже, оно связано с ним и опирается на ту же схему суммирования.)

Есть некоторое обсуждение Whitworth (и многочисленные ссылки) в

Энтони Лоуренс и Роберт Маркс, (2008)
"Распределение размера фирмы в отрасли с ограниченными ресурсами",
Прикладная экономика , том. 40, выпуск 12, стр. 1595-1607

(Там выглядит рабочий документ версия здесь )

Также см

Нэнси Л. Геллер, (1979)
Тест значимости для распределения Уитворта,
Журнал Американского общества информатики , том 30 (4), с.229-231

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Чтобы сделать этот ответ самодостаточным, не могли бы вы дать определение распределения Уитворта и, возможно, дать несколько слов объяснения относительно связи, которую вы видите?

— whuber

@whuber Да, это должен быть комментарий. Я отредактирую некоторые детали, но это закончится намного дольше.

— Glen_b

Просто какое-то определение было бы хорошо.

— whuber

Спасибо, это было понято, но, тем не менее, это будет результат.

— Glen_b