Медиана является «метрическим» или «топологическим» свойством?

Я прошу прощения за небольшое злоупотребление терминологией; Надеюсь, станет понятно, что я имею в виду ниже.

Рассмотрим случайную величину . Как среднее значение, так и медиана могут быть охарактеризованы критерием оптимальности: среднее значение - это число которое минимизирует , а медиана - это число, которое минимизирует . С этой точки зрения, разница между средним и медианным является выбором «метрики» для оценки отклонений, квадрата или абсолютного значения. $X$ $\mu$ $\mathrm E((X - \mu)^2)$ $\mathrm E(|X - \mu|)$

С другой стороны, медиана - это число, для которого (при условии абсолютной непрерывности), т.е. это определение зависит только от способности упорядочивать значения и не зависит от насколько они отличаются. Следствием этого является то, что для каждой строго возрастающей функции , , то есть она является «топологической» в смысле инвариантность относительно «резиноподобных» преобразований. $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ $X$ $f(x)$ $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Теперь я сделал математику и знаю, что, исходя из критерия оптимальности, я могу прийти к -квартиле, поэтому оба описывают одно и то же. Но все же я запутался, потому что моя интуиция подсказывает мне, что то, что зависит от «метрики», не может привести к «топологическому» свойству. $\frac12$

Может кто-нибудь разгадать эту загадку для меня?

mean median

— А. Донда
источник

Хорошее название! :-)

— Луис Мендо

Недостаток в ваших рассуждениях состоит в том, что то, что зависит от метрики, не может быть топологическим свойством.

Взять компактность метрических пространств. Это можно определить в терминах метрики: компактность означает, что пространство полно (зависит от метрики) и полностью ограничено (зависит от метрики). Оказывается, однако, что это свойство является инвариантом при гомеоморфизме и действительно может быть определено в терминах только топологии (конечных подпокрытий любого покрытия обычным способом).

Другой пример - различные теории гомологии. Только единичные гомологии действительно топологичны в своем определении. Все остальные, симплициальные, клеточные, де Рама (когомологии, но дают мне немного раскованности) и т. Д., Зависят от дополнительной структуры, но оказываются эквивалентными (и с ними немного легче работать).

Это часто встречается в математике, иногда самый простой способ определить что-то - это с точки зрения некоторой вспомогательной структуры, а затем демонстрируется, что получающаяся сущность, на самом деле, вообще не зависит от выбора вспомогательной структуры.

— Мэтью Друри
источник

Спасибо за ответ! Похоже, вы относитесь к моей терминологии более серьезно, чем я думал. Я должен признать, что у меня есть только самые базовые знания о топологических и метрических пространствах, так что это может быть глупым вопросом: я понимаю, что использование вспомогательной структуры облегчает жизнь, хотя это не является строго необходимым - хорошо, возможно, это так здесь тоже.

— А. Донда

Но вы также говорите: «Получающаяся сущность, на самом деле, вообще не зависит от выбора вспомогательной структуры». Правильно ли я понимаю, что можно использовать разные вспомогательные структуры для достижения одной и той же топологии? Если да, то аналогия здесь нарушается, потому что, используя «квадратную метрику», я получаю не медиану, а среднее значение, которое не является инвариантным при монотонных преобразованиях.

— А. Донда

Хорошая точка зрения. Полагаю, то, что я говорю, не удивительно, когда что-то, что может быть определено в терминах структуры, может быть определено в терминах более слабой структуры - и часто, когда это происходит, вы находите полезную концепцию! В вашем случае вы можете определить медиану в терминах арифметики и интегрирования действительных чисел, что является большой структурой, но на самом деле, есть определение, которое меняет арифметику на порядок, более слабую структуру. Мои случаи были в крайнем крайнем случае, когда более слабая структура оказалась почти без структуры.

— Мэтью Друри

Еще один момент. Вы могли бы сказать, что причина, по которой монотонные преобразования сохраняют медиану, заключается в том, что существует способ определить их с точки зрения структуры, для которой монотонные преобразования являются морфизмами . Морфизм - это общее абстрактное бессмысленное слово, означающее функцию, которая сохраняет некоторую структуру .

— Мэтью Друри

Хорошо, я понял общую мысль. Но у меня все еще есть ощущение, что что-то осталось необъяснимым, в частности, пункт, упомянутый выше. Я проголосовал, но по этой причине я не приму ваш ответ - может быть, кто-то придумает дополнительное понимание. Еще раз спасибо!

— А. Донда