Альтернативный аргумент: существует только один порядок который увеличивается извозможные перестановки . Нас интересуют порядки, которые увеличиваются до предпоследней позиции, а затем уменьшаются: для этого требуется, чтобы максимум находился в позиции , а один из других находился в конечной позиции. Поскольку существует способов выбрать один из первых членов в нашей упорядоченной последовательности и переместить его в конечную позицию, то вероятность равна: н ! X 1 , … , X n n - 1 n - 1 X i n - 1 n - 1Иксян !Икс1, … , XNn - 1n - 1Иксяn - 1n - 1
Pr ( N= n ) = n - 1н !
Примечание , и так что это согласуется с результатами, полученными интегрированием. Pr(N=3)=3-1Pr ( N= 2 ) = 2 - 12 != 12 Pr(N=4)=4-1Pr ( N= 3 ) = 3 - 13 != 13Pr ( N= 4 ) = 4 - 14 != 18
Чтобы найти ожидаемое значение мы можем использовать:N
E (N) = ∑п = 2∞n Pr ( N= n ) = ∑п = 2∞n ( n - 1 )н != ∑п = 2∞1( п - 2 ) != ∑к = 0∞1к !знак равно е
(Чтобы сделать суммирование более очевидным, я использовал ; для читателей, незнакомых с этой суммой, возьмем ряд Тейлора и подставьте )e x = ∑ ∞ k = 0 x kk = n - 2 х=1еИкс= ∑∞к = 0ИксКк !х = 1
Мы можем проверить результат с помощью симуляции, вот код в R:
firstDecrease <- function(x) {
counter <- 2
a <- runif(1)
b <- runif(1)
while(a < b){
counter <- counter + 1
a <- b
b <- runif(1)
}
return(counter)
}
mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))
Это вернулось 2.718347
, достаточно близко, 2.71828
чтобы удовлетворить меня.
[self-study]
тег и прочитайте его вики .