У этого дистрибутива есть имя? Или что такое стохастический процесс, который может его генерировать?

Дискретное распределение с функцией массы

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

возникает на странице 9 этой статьи .

Для это распределение Юла-Саймона с , но я не нашел других примеров. $k=1$ $\rho=1$

У него есть имя? Появляется ли это в каких-либо других контекстах? Есть ли простой случайный процесс, который может генерировать его?

distributions

— Саймон Бирн
источник

Это дискретный степенной закон.

(Это описание, чье значение будет уточнено ниже, а не технический термин. Фраза «дискретный степенной закон» имеет несколько иное техническое значение, как указано @Cardinal в комментариях к этому ответу.)

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что частичное разложение дроби можно записать

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

CDF телескопы в закрытом виде:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Кстати, так как это легко перевернут, он сразу же обеспечивает эффективный способ для генерации случайных переменных из этого распределения: просто вычислить гдеравномерно распределено по.) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

Дифференцирование этого выражения по отношению к показывает, как CDF может быть записан как интеграл, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

откуда

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

$k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

$p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— Whuber
источник

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

p

$p$

Я не совсем уверен насчет различия, которое вы пытаетесь провести. К сожалению, у меня не было возможности тщательно обдумать это, но, похоже, вы определяете распределение по степенному закону как дискретную версию непрерывного распределения по степенному закону. Я правильно интерпретирую ваш комментарий? Во всяком случае, когда я вижу в литературе ссылку на дискретные степенные законы, обычное определение кажется более слабым (то есть асимптотическим), которое я использовал. (продолжение)

— кардинал

(Продолжение.) С другой стороны, распределение Зипфа может показаться настолько чистым, насколько это возможно, от дискретного степенного закона, но я не верю, что оно может быть сгенерировано как дискретизация непрерывного степенного закона. Я неправильно истолковал ваши намерения? (Кстати, ваше развитие выше довольно приятно. Признание суммы телескопирования для cdf велико, как и признание схемы легкой выборки.)

— кардинал

Хорошо, после небольшого расследования я нашел еще несколько деталей.

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

У него есть пара других интересных свойств:

Имеет бесконечное среднее
$X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— Саймон Бирн
источник