Линейная комбинация двух случайных ненормалей, которые все еще являются членами одной семьи

Хорошо известно, что линейная комбинация 2 случайных нормальных переменных также является случайной нормальной переменной. Существуют ли общие семейства ненормальных распределений (например, Вейбулла), которые также имеют это свойство? Кажется, есть много контрпримеров. Например, линейная комбинация униформ обычно не однородна. В частности, существуют ли ненормальные семейства распределения, в которых выполняются оба следующих условия:

1. Линейная комбинация двух случайных величин из этого семейства эквивалентна некоторому распределению в этом семействе.
2. Результирующий параметр (ы) может быть идентифицирован как функция исходных параметров и констант в линейной комбинации.

Я особенно заинтересован в этой линейной комбинации:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

где и X_2 выбираются из некоторого ненормального семейства с параметрами \ theta_1 и \ theta_2 , а Y происходит из того же ненормального семейства с параметром \ theta_Y = f (\ theta_1, \ theta_2, w) .$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Я описываю семейство рассылки с 1 параметром для простоты, но я открыт для семейств рассылки с несколькими параметрами.

Кроме того, я ищу примеры, где есть много места для параметров и для работы в целях моделирования. Если вы можете найти только пример, который работает для некоторых очень специфических и , это было бы менее полезно.$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Хорошо известно, что линейная комбинация 2 случайных нормальных переменных также является случайной нормальной переменной. Существуют ли общие семейства ненормальных распределений (например, Вейбулла), которые также имеют это свойство?

Нормальное распределение удовлетворяет хорошей форме свертки: . Если вы ссылаетесь на центральную предельную теорему, то, например, те гамма-распределения с одним и тем же коэффициентом формы будут иметь это свойство и превращаться в гамма-распределения. Пожалуйста, ознакомьтесь с предостережением относительно использования центральной предельной теоремы . В общем, однако, с неравными коэффициентами формы, гамма-распределения "добавили бы" путем свертки, которая была бы не гамма-распределением, а гамма-функцией, умножающей гипергеометрическую функцию первого рода, как найдено в уравнении. (2) из$X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$свертка двух гамма-распределений . Другое определение добавления, то есть формирование смеси распределения несвязанных процессов, не обязательно будет иметь какой-либо центральный предел, например, если средства различны.

Вероятно, есть и другие примеры, я не провел исчерпывающий поиск. Закрытие для свертки, похоже, не надумано. Для линейного сочетания продукт Пирсона VII с Пирсоном VII является еще одним Пирсоном VII .

Хорошо известно, что линейная комбинация 2 случайных нормальных переменных также является случайной нормальной переменной. Существуют ли общие семейства ненормальных распределений (например, Вейбулла), которые также имеют это свойство?

Похоже, вы ищете класс стабильных распределений Леви . Это класс всех распределений которые удовлетворяют свойству устойчивости:$\mathscr{P}$$\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

Другими словами, для каждого распределения в этом классе, если вы берете линейную функцию двух независимых случайных величин с этим распределением, то это имеет то же распределение, что и аффинная функция одной случайной величины с этим распределением. (Обратите внимание, что это требование стабильности можно ужесточить, установив , что дает подкласс строго стабильных распределений.)$d=0$

Устойчивые по Леви распределения можно рассматривать как семейство распределений само по себе, и в этом смысле это единственное семейство распределений с этим свойством устойчивости, поскольку (по определению) оно охватывает все распределения с этим свойством. Нормальное распределение падает в классе распределений Леви-устойчивых, так же как и распределение Коши , то распределение Ландау , и распределение Хольцмарки .