Интуитивное объяснение плотности преобразованной переменной?

Предположим, что $X$ - случайная величина с pdf $f_X(x)$ . Тогда случайная величина $Y=X^2$ имеет pdf

$$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$$

Я понимаю исчисление за этим. Но я пытаюсь найти способ объяснить это кому-то, кто не знает исчисления. В частности, я пытаюсь объяснить, почему фактор $\frac{1}{\sqrt{y}}$ появляется спереди. Я возьму удар на это:

Предположим, что $X$ имеет гауссово распределение. Почти весь вес его PDF находится между значениями, скажем, $-3$ и $3.$ Но что карты до 0 до 9 для $Y$ . Таким образом, тяжелый вес в формате PDF для $X$ был расширен в более широком диапазоне значений в переходе к $Y$ . Таким образом, чтобы $f_Y(y)$ был истинным pdf, дополнительный тяжелый вес должен быть уменьшен с помощью мультипликативного коэффициента $\frac{1}{\sqrt{y}}$

Как это звучит?

Если кто-то может дать лучшее объяснение своего или ссылку на него в документе или учебнике, я был бы очень признателен. Я нахожу этот пример преобразования переменной в нескольких книгах по математической вероятности / статистике. Но я никогда не найду интуитивного объяснения с этим :(

PDF - это высота, но они используются для представления вероятности посредством площади. Поэтому это помогает выразить PDF таким образом, который напоминает нам, что площадь равна высоте, умноженной на основание.

Первоначально высота при любом значении $x$ задается в PDF $f_X(x)$ . Основой является бесконечно малый сегмент $dx$ , откуда распределение (то есть мера вероятности в отличие от функции распределения ) действительно является дифференциальной формой, или «элементом вероятности».

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$$

Это, а не PDF, это объект, с которым вы хотите работать как концептуально, так и практически, потому что он явно включает в себя все элементы, необходимые для выражения вероятности.

Когда мы повторно выражаем $x$ через $y = x^2$ , базовые сегменты $dx$ растягиваются (или сжимаются): возводя в квадрат оба конца интервала от $x$ до $x + dx$ мы видим, что основание области $y$ должно быть интервалом длины

$$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$$

Поскольку произведение двух бесконечно малых величин ничтожно по сравнению с самими бесконечно малыми, мы заключаем

$$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$$

Установив это, вычисление является тривиальным, потому что мы просто подключаем новую высоту и новую ширину:

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$$

Поскольку основание, с точки зрения $y$ , равно $dy$ , все, что умножается, должно быть высотой, которую мы можем прочитать непосредственно из среднего слагаемого как

$$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$$

Это уравнение $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$ фактически является законом сохранения площади (= вероятности).

На этом рисунке точно показаны узкие (почти бесконечно малые) фрагменты двух PDF-файлов, связанных с $y=x^2$ . Вероятности представлены заштрихованными областями. Из-за сжатия интервала $[0.32, 0.45]$ посредством возведения в квадрат высоту красной области ( $y$ , слева) необходимо пропорционально увеличить, чтобы она соответствовала области синей области ( $x$ , справа).

Как насчет того, чтобы изготовить объекты, которые всегда квадратные, и я знаю распределение сторон по длине квадратов; Что я могу сказать о распределении площадей по площадям?

В частности, если я знаю распределение случайной величины , что я могу сказать о Y = X 2 ? Одна вещь, которую вы можете сказать, это$X$$Y = X^{2}$

$$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$$

Таким образом, устанавливается связь между CDF и CDF X ; Какая связь между их PDF-файлами? Нам нужно исчисление для этого. Взятие производных обеих сторон дает вам результаты, которые вы хотели.$Y$$X$

$Y$$P(Y \in (y, y + \Delta y))$$Y$$(y, y + \Delta y)$$\Delta y$

$X$$Y$$X$$Y = X^2$$Y\in (y, y + \Delta y)$$X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$$X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$$(y, y + \Delta y)$$(|x|, |x| + \Delta x)$$(- |x| -\Delta x, -|x| )$

$$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$$

Хорошо, теперь давайте перейдем к плотности. Во-первых, нам нужно определить, что такое плотность вероятности . Как следует из названия, это доля людей на площадь . То есть мы подсчитываем долю людей в этом контейнере и делим на размер корзины . Поскольку мы установили, что пропорции людей здесь одинаковы, но размеры бункеров изменились, мы заключаем, что плотность будет другой. Но отличается на сколько?

$Y$$f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$$X$$f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

Исходя из нашего предыдущего результата, что население в каждой корзине одинаково, мы имеем это,

$$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$$

$f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$$\frac{\Delta x}{\Delta y}$$y = x^2$$y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$$\Delta x$$\Delta x ^2$$\Delta y = 2x \Delta x$$\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$$\frac{1}{2 \sqrt{y}}$