Квантили из комбинации нормальных распределений

У меня есть информация о распределении антропометрических размеров (таких как размах плеч) для детей разных возрастов. Для каждого возраста и измерения у меня есть среднее стандартное отклонение. (У меня также есть восемь квантилей, но я не думаю, что смогу получить от них то, что хочу.)

Для каждого измерения я хотел бы оценить конкретные квантили распределения длины. Если я предполагаю, что каждое из измерений нормально распределено, я могу сделать это с помощью средних и стандартных отклонений. Есть ли симпатичная формула, которую я могу использовать, чтобы получить значение, связанное с определенным квантилем распределения?

Обратное довольно просто: для определенного значения возьмите область справа от значения для каждого из нормальных распределений (возрастов). Суммируйте результаты и делите на количество распределений.

Обновление : вот тот же вопрос в графической форме. Предположим, что каждое из цветных распределений нормально распределено.

Кроме того, я, очевидно, могу просто попробовать несколько разных длин и менять их, пока не получу ту, которая достаточно близка к желаемому квантилю для моей точности. Мне интересно, есть ли лучший способ, чем этот. И если это правильный подход, есть ли название для него?

$w$

$$\frac{d^2 w}{d p^2} = w \left(\frac{d w}{d p}\right)^2$$

$w(1/2) = 0$$w'(1/2) = \sqrt{2 \pi}$

qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)

$p$$N(\mu, \sigma^2)$

---

Изменить: с измененным пониманием проблемы, данные генерируются из смеси нормалей, так что плотность наблюдаемых данных составляет:

$$p(x) = \sum_{i} w_{i} p_{i}(x)$$

$\sum_{i} w_{i} = 1$$p_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$

$$F(y) = \int_{-\infty}^{y} \sum_{i} w_{i} p_{i}(x) dx = \sum_{i} w_{i} \int_{-\infty}^{y} p_{i}(x) = \sum_{i} w_{i} F_{i}(y)$$

$F_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$$F^{-1}$

$F^{-1}$$w_{i}, \mu_{i}, \sigma_{i}$$p$

# evaluate the function at the point x, where the components 
# of the mixture have weights w, means stored in u, and std deviations
# stored in s - all must have the same length.
F = function(x,w,u,s) sum( w*pnorm(x,mean=u,sd=s) )

# provide an initial bracket for the quantile. default is c(-1000,1000). 
F_inv = function(p,w,u,s,br=c(-1000,1000))
{
   G = function(x) F(x,w,u,s) - p
   return( uniroot(G,br)$root ) 
}

#test 
# data is 50% N(0,1), 25% N(2,1), 20% N(5,1), 5% N(10,1)
X = c(rnorm(5000), rnorm(2500,mean=2,sd=1),rnorm(2000,mean=5,sd=1),rnorm(500,mean=10,sd=1))
quantile(X,.95)
    95% 
7.69205 
F_inv(.95,c(.5,.25,.2,.05),c(0,2,5,10),c(1,1,1,1))
[1] 7.745526

# data is 20% N(-5,1), 45% N(5,1), 30% N(10,1), 5% N(15,1)
X = c(rnorm(5000,mean=-5,sd=1), rnorm(2500,mean=5,sd=1),
      rnorm(2000,mean=10,sd=1), rnorm(500, mean=15,sd=1))
quantile(X,.95)
     95% 
12.69563 
F_inv(.95,c(.2,.45,.3,.05),c(-5,5,10,15),c(1,1,1,1))
[1] 12.81730