, затем?

Докажите или предоставьте контрпример:

Если , то $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Моя попытка :

FALSE: предположим, что может принимать только отрицательные значения, и предположим, что $X$ $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

THEN , однако для четных , не является строго отрицательным. Вместо этого он чередуется с отрицательным к положительному и отрицательному. Следовательно, не сходится почти наверное к . $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $n$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $X$

Это разумный ответ ?? Если нет, как я могу улучшить свой ответ?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
источник

X_{i}

$X_i$ должен быть строго положительным, чтобы это имело смысл.

— user765195

Конечно, вам нужно чтобы правильно определить . Сначала докажите, что сходится к как (Google "Чезаро значит" в реальном анализе и адаптируйте аргумент). Затем рассмотрим .

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Дзен

Необходимости Реальный анализ результат заключается в следующем: если , то . Доказательство: для любого существует такой, что , для каждого . Следовательно, . Следовательно, если мы выберем , то , для каждого .

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

— Дзен

Интуиция заключается в том, что вы вычисляете среднее значение с большим и большим количеством , которые все ближе и ближе к , и в итоге они доминируют в результате.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Дзен

Ответы:

Прежде чем доказывать что-то интересное, обратите внимание, что почти наверняка для всех не является необходимым условием для того, чтобы оба утверждения имели смысл, что иллюстрирует детерминированная последовательность . $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Более того, утверждение действительно неверно в целом, как доказывает следующая детерминированная последовательность: . $(0, 1, 1, \dots)$

Теперь предположим, что почти наверняка для всех , тогда утверждение верно по следующему аргументу: $X_i >0$ $i$

ОпределитеПо совпадению , почти наверняка. Таким образом, почти наверняка в результате для Cesaro означает также доказанное в комментариях выше. Таким образом, по непрерывности , почти наверняка.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— ekvall
источник

Это утверждение является ложным. Я даю доказательства, предоставляя контрпример.

Предположим, что случайная последовательность определяется следующим образом: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Ясно, что является (1) вырожденным и (2) почти наверняка сходится к при по сильному закону больших чисел Чебышева. (Чтобы увидеть это, перепишите для .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Однако, поскольку , . Следовательно, , поэтому в пределе он будет тривиально сходиться к , то есть . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Иеремия К
источник

Вы, кажется, забыли показатель .

1 / n

$1/n$

— whuber

Спасибо, я исправил это :) Я должен действительно работать над чтением вещей ... Я также сначала доказал, что утверждение также не выполняется для потому что я не читал правильно.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Иеремия К

Спасибо. Кажется, что все эти вычисления затеняют простую идею: если ненулевой, вы не измените предел, изменив любое конечное число на ноль, но это сведет произведение к нулю, и вы получите противоречие. Справедливо. Однако, если нам не сказано иное, утверждения о бесконечных произведениях следует понимать как утверждения о бесконечных суммах логарифмов. В частности, интерес к этому вопросу сосредоточен на случае, когда каждый почти наверняка является строго положительным .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@whuber, что последний комментарий интересен. Действительно ли это так, что пределы продуктов по соглашению или, возможно, по определению (?) Понимаются в терминах логарифмов? Если это так, я бы тоже изменил формулировку моего ответа выше. В частности, последний призыв к преемственности был бы излишним.

— ekvall

@ Student В вашем ответе все в порядке. В статистических приложениях редко кто-либо будет смотреть на такой предел геометрических средних, если они уже не думают в терминах логарифмов.

— whuber